Leitidee Funktionaler Zusammenhang

Unter der Leitidee 'Funktionaler Zusammenhang' (L 4) werden inhaltsbezogene Kompetenzen in den Bildungsstandards Mathematik der Kultusministerkonferenz gruppiert. Die Leitidee 'Funktionaler Zusammenhang' (L 4) wird in den Bildungsstandards für die Primarstufe zur Leitidee 'Muster und Strukturen' (L 3)

'Muster und Strukturen' (L 3) in den Bildungsstandards für die Primarstufe (Jgst. 4)

Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen

• strukturierte Zahldarstellungen (z.B. Hunderter-Tafel) verstehen und nutzen,
• Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen Mustern (z.B. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen,
• arithmetische und geometrische Muster selbst entwickeln, systematisch verändern und beschreiben.

funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen

• funktionale Beziehungen in Sachsituationen erkennen, sprachlich beschreiben (z.B. Menge–Preis) und entsprechende Aufgaben lösen,
• funktionale Beziehungen in Tabellen darstellen und untersuchen,
• einfache Sachaufgaben zur Proportionalität lösen.

'Funktionaler Zusammenhang' (L 4) in den Bildungsstandards für den HSA (Jgst. 9)

Die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss (Jahrgangsstufe 9) nennen als inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen, die der Leitidee Funktionaler Zusammenhang zuzuordnen sind, die folgenden:

• „...beschreiben und interpretieren funktionale Zusammenhänge und ihre Darstellungen in Alltagssituationen,
• verwenden für funktionale Zusammenhänge unterschiedliche Darstellungsformen,
• unterscheiden proportionale und antiproportionale Zuordnungen in Sachzusammenhängen und stellen damit Berechnungen an,
• nutzen die Prozentrechnung bei Wachstumsprozessen (beispielsweise bei der Zinsrechnung), auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms,
• nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen situationsgerecht,
• lösen einfache lineare Gleichungen,
• vergleichen ihr Vorgehen beim Lösen einfacher linearer Gleichungen mit anderen Lösungsverfahren (wie inhaltlichem Lösen oder systematischem Probieren)."

'Funktionaler Zusammenhang' (L 4) in den Bildungsstandards für den MSA (Jgst. 10)

Die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss (Jahrgangsstufe 10) nennen als inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen, die der Leitidee 'Funktionaler Zusammenhang' zuzuordnen sind, die folgenden:

• "... nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge,
• erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar,
• analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche Darstellungen funktionaler Zusammenhänge (wie lineare, proportionale und antiproportionale),
• lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen,
• interpretieren lineare Gleichungssysteme graphisch,
• lösen Gleichungen, und lineare Gleichungssysteme kalkülmäßig bzw. algorithmisch, auch unter Einsatz geeigneter Software, und vergleichen ggf. die Effektivität ihres Vorgehens mit anderen Lösungsverfahren (wie mit inhaltlichem Lösen oder Lösen durch systematisches Probieren),
• untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich Aussagen,
• bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen und stellen Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph her,
• wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an,
• verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen Vorgängen,
• beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen, auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms,
• geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können."

'Funktionaler Zusammenhang' (L 4) in den Bildungsstandards für die Allgemeine Hochschulreife

Die Kompetenzen zu dieser Leitidee werden in drei Anforderungsniveaus beschrieben:

Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau:

• die sich aus den Funktionen der Sekundarstufe I ergebenden Funktionsklassen zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen
• in einfachen Fällen Verknüpfungen und Verkettungen von Funktionen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen
• die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate deuten
• Änderungsraten funktional beschreiben (Ableitungsfunktion) und interpretieren
• die Funktionen der Sekundarstufe I ableiten, auch unter Nutzung der Faktor- und Summenregel
• die Produktregel zum Ableiten von Funktionen verwenden
• die Ableitung zur Bestimmung von Monotonie und Extrema von Funktionen nutzen
• den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln
• das bestimmte Integral deuten, insbesondere als (re-)konstruierten Bestand
• geometrisch-anschaulich den Hauptsatz als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff begründen
• Funktionen mittels Stammfunktionen integrieren
• Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen

Erhöhtes Anforderungsniveau:

• die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen deuten
• die Kettenregel zum Ableiten von Funktionen verwenden
• die ln-Funktion als Stammfunktion von $3\mapsto 1/x$ und als Umkehrfunktion der e-Funktion nutzen

Vergleich der Leitidee 'Funktionaler Zusammenhang' zwischen MSA und HSA

Im Vergleich ergibt sich für den Mittleren Schulabschluss zusätzlich:

• Neben der Beschreibung und Interpretation funktionaler Zusammenhänge sollen Funktionen genutzt werden, um quantitative Zusammenhänge zu beschreiben.
• Es sollen funktionale Zusammenhänge erkannt werden, zusätzlich zur Beschreibung und Interpretation.
• Zusätzlich zu proportionalen/antiproportionalen Zusammenhängen sollen Darstellungen linearer Zusammenhänge analysiert, interpretiert und verglichen werden.
• Realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen sollen gelöst werden (Modellierung).
• Gleichungssysteme sollen graphisch interpretiert werden können.
• Es sollen neben (linearen) Gleichungen auch lineare Gleichungssysteme kalkülmäßig, algorithmisch und ggf. mit Software gelöst werden.
• Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen werden untersucht und diesbezügliche Aussagen formuliert.
• Kennzeichnende Merkmale von Funktionen sollen bestimmt und Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph hergestellt werden.
• Schülerinnen und Schüler wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an.
• Die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen Vorgängen soll verwendet werden.
• Weiterhin sollen Veränderungen von Größen mittels Funktionen beschrieben werden. Dabei sollen u. a. Tabellenkalkulationsprogramme verwendet werden.
• Es sollen zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen gefunden werden, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können.

Literatur

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2016): Leitidee Funktionaler Zusammenhang. Version vom 4.09.2016. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Leitidee_Funktionaler_Zusammenhang&oldid=25540.