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Funktion: mengentheoretische Auffassung: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 4. April 2018, 07:48 Uhr
, 4. April 2018→Funktionsdefinition
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* Ein wesentlicher Aspekt beim Funktionsbegriff ist die '''eindeutige [[Zuordnung]]''', die mit „rechtseindeutig“ erfasst werden kann, ohne schon <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> mit voraussetzen zu müssen. | * Ein wesentlicher Aspekt beim Funktionsbegriff ist die '''eindeutige [[Zuordnung]]''', die mit „rechtseindeutig“ erfasst werden kann, ohne schon <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> mit voraussetzen zu müssen. | ||
* Wenn die Ausgangsmenge mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, wenn also <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> gilt, wird ''jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge'' zugeordnet, so dass also <math>f\,:A\to B</math> gilt. Es bietet sich für den Mathematikunterricht an, mit dieser engeren Sichtweise zu beginnen (und ggf. dabei zu bleiben). | * Wenn die Ausgangsmenge mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, wenn also <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> gilt, wird ''jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge'' zugeordnet, so dass also <math>f\,:A\to B</math> gilt. Es bietet sich für den Mathematikunterricht an, mit dieser engeren Sichtweise zu beginnen (und ggf. dabei zu bleiben). | ||
* Der Aspekt der eindeutigen Zuordnung liegt in zweispaltigen Tabellen automatisch vor, wenn sich in der „Eingangsspalte“ (links) kein Element wiederholt. Damit kann eine „Funktion“ alternativ von Anbeginn an auch mit einer solchen Tabelle identifiziert werden, dieses in Übereinstimmung mit der Auffassung der Numeriker und ganz in der kulturhistorischen Tradition der Mathematik von den Babyloniern bis Du Bois-Reymond (s. o). | * Der Aspekt der eindeutigen Zuordnung liegt in zweispaltigen Tabellen automatisch vor, wenn sich in der „Eingangsspalte“ (links) kein Element wiederholt. Damit kann eine „Funktion“ alternativ von Anbeginn an auch mit einer solchen Tabelle identifiziert werden, dieses in Übereinstimmung mit der Auffassung der Numeriker und ganz in der kulturhistorischen Tradition der Mathematik von den Babyloniern bis Du Bois-Reymond (s. o.). | ||
* Die symbolische Darstellung „<math>f\,:A\to B</math>“ ist eine | * Die symbolische Darstellung „<math>f\,:A\to B</math>“ ist eine Mitteilung über eine Funktion <math>f</math> (genauer: eine [[Aussageform]]) und bedeutet definitionsgemäß und ist auch so zu lesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> in <math>B</math>“. Damit ist es sprachlich nicht korrekt, <math>f\,:A\to B</math> eine „Funktion“ zu nennen, sondern korrekt wäre z. B. entweder „die Funktion <math>f</math> von <math>A</math> in <math>B</math>“ oder „die Funktion <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>f\,:A\to B</math>“. | ||
* Es ist zu beachten, dass bei Funktionen der mit dem Symbol <math>f(x)</math> bezeichnete „Funktions'''wert'''“ (ganz im Sinne der kulturhistorischen Tradition) '''nicht notwendig ein [[Term]]''' sein muss, so dass man hier besser nicht immer von einem „Funktionsterm“ sprechen sollte. Ganz anders ist die Situation bei [[Funktionenplotter|Funktionenplottern]], die ''nur die Darstellung termdefinierter Funktionen'' ermöglichen können. | * Es ist zu beachten, dass bei Funktionen der mit dem Symbol <math>f(x)</math> bezeichnete „Funktions'''wert'''“ (ganz im Sinne der kulturhistorischen Tradition) '''nicht notwendig ein [[Term]]''' sein muss, so dass man hier besser nicht immer von einem „Funktionsterm“ sprechen sollte. Ganz anders ist die Situation bei [[Funktionenplotter|Funktionenplottern]], die ''nur die Darstellung termdefinierter Funktionen'' ermöglichen können. | ||
* Offensichtlich kann man nicht termdefinierbare Funktionen mit „überschaubar“ endlichem Definitionsbereich durch eine Tabelle „darstellen“ (also konkret erzeugen), und man kann sich dann sogar jede (auch nicht termdefinierte) Funktion mit endlichem Definitionsbereich als Tabelle zumindest „vorstellen“. Diese „Vorstellung“ von „Funktion als Tabelle“ gilt dann offenbar auch für jede termdefinierbare Funktion mit abzählbarem Definitionsbereich (genannt „'''Folge'''“), und wir können das gedanklich auch auf nicht termdefinierte Folgen fortsetzen, wie etwa folgendes Beispiel zeigt: Es sei <math>f(n)</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math> die <math>n</math>-te Dezimalstelle von <math>\pi</math>, also <math>f(0)=3</math>, <math>f(1)=1</math>, <math>f(2)=4</math> ..., dann lässt sich dies mit einer (gedachten!) unendlichen Tabelle erfassen und so also auch „vorstellen.“ | * Offensichtlich kann man nicht termdefinierbare Funktionen mit „überschaubar“ endlichem Definitionsbereich durch eine Tabelle „darstellen“ (also konkret erzeugen), und man kann sich dann sogar jede (auch nicht termdefinierte) Funktion mit endlichem Definitionsbereich als Tabelle zumindest „vorstellen“. Diese „Vorstellung“ von „Funktion als Tabelle“ gilt dann offenbar auch für jede termdefinierbare Funktion mit abzählbarem Definitionsbereich (genannt „'''Folge'''“), und wir können das gedanklich auch auf nicht termdefinierte Folgen fortsetzen, wie etwa folgendes Beispiel zeigt: Es sei <math>f(n)</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math> die <math>n</math>-te Dezimalstelle von <math>\pi</math>, also <math>f(0)=3</math>, <math>f(1)=1</math>, <math>f(2)=4</math> ..., dann lässt sich dies mit einer (gedachten!) unendlichen Tabelle erfassen und so also auch „vorstellen.“ | ||
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<div id="Funktionsgraph_2"></div> | <div id="Funktionsgraph_2"></div> | ||
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* Die übliche o. g. Definition des Funktionsgraphen gemäß <math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> resultiert aus dem Wunsch der Darstellung der Wertepaare <math>(x,f(x))</math> durch ''Punkte in einem Koordinatensystem'', wobei diese Wertepaare <math>(x,f(x))</math> nicht notwendig numerischer Art sein müssen. Wenn nun aber eine Funktion formal streng als spezielle Relation definiert wird und eine Relation ja gerade eine Menge geordneter Paare ist, so erhalten wir <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math>. | * Die übliche o. g. Definition des Funktionsgraphen gemäß <math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> resultiert aus dem Wunsch der Darstellung der Wertepaare <math>(x,f(x))</math> durch ''Punkte in einem Koordinatensystem'', wobei diese Wertepaare <math>(x,f(x))</math> nicht notwendig numerischer Art sein müssen. Wenn nun aber eine Funktion formal streng als spezielle Relation definiert wird und eine Relation ja gerade eine Menge geordneter Paare ist, so erhalten wir <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math>. | ||