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===Parameter a=== | ===Parameter a=== | ||
Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form | Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form ax², so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor a beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.[[Kategorie:Analysis]] | ||
===Parameter b=== | ===Parameter b=== | ||
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==Scheitelpunkt / Scheitelpunktform== | ==Scheitelpunkt / Scheitelpunktform== | ||
Der [[Scheitelpunkt]] trifft eine Aussage über die Lage einer Parabel und ist identisch mit dem [[absoluten Minimum]] (für a>0) bzw. [[absoluten Maximum]] (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes [[Koordinatensystem]] eingezeichnet werden. | Der [[Scheitelpunkt]] trifft eine Aussage über die Lage einer [[Parabel]] und ist identisch mit dem [[absoluten Minimum]] (für a>0) bzw. [[absoluten Maximum]] (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes [[Koordinatensystem]] eingezeichnet werden. | ||
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für f(x)=a(x+d) | Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für f(x)=a(x+d)²+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e). | ||
Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der [[quadratischen Ergänzung]]. | Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der [[quadratischen Ergänzung]]. | ||
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==Spezialfälle quadratischer Funktionen== | ==Spezialfälle quadratischer Funktionen== | ||
===y= | ===y=x²=== | ||
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | ||
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Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0) | Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0) | ||
===y= | ===y=ax²+c=== | ||
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | ||
Wertebereich | Wertebereich: | ||
- für a>0: c ≤ y < + ∞ | |||
- für a<0: - ∞ < y ≤ c | |||
Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c) | Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c) | ||
===y=(x+d) | ===y=(x+d)²+e=== | ||
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | ||
Zeile 50: | Zeile 50: | ||
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | ||
Wertebereich: (- | Wertebereich: ((-p²)/4)+q ≤ y < + ∞ | ||
Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-( | Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p²)/4)+q) | ||
==Nullstellen einer quadratischen Funktion== | ==Nullstellen einer quadratischen Funktion== | ||
Für die quadratische Funktion f(x)= | Für die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax²+bx+c aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehrörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax²+bx+c in die Normalform überführt: | ||
0= | 0=x²+px+q mit p=b/a und q=c/a. | ||
Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet: | Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet: | ||
x<small>1</small>=-(p/2)+<math>\sqrt{(p/2) | x<small>1</small>=-(p/2)+<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math> | ||
x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2) | x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>. | ||
Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2) | Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2)²-q wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat. | ||
Die Funktion f(x)= | Die Funktion f(x)=x²+px+q hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn D>0, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn D=0, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn D<0 ist. | ||
==didaktischer | ==didaktischer Plan== |
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