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Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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===Parameter a===
===Parameter a===
Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form ax^2, so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor a beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.[[Kategorie:Analysis]]
Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form ax², so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor a beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.[[Kategorie:Analysis]]


===Parameter b===
===Parameter b===
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==Scheitelpunkt / Scheitelpunktform==
==Scheitelpunkt / Scheitelpunktform==


Der [[Scheitelpunkt]] trifft eine Aussage über die Lage einer Parabel und ist identisch mit dem [[absoluten Minimum]] (für a>0) bzw. [[absoluten Maximum]] (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes [[Koordinatensystem]] eingezeichnet werden.
Der [[Scheitelpunkt]] trifft eine Aussage über die Lage einer [[Parabel]] und ist identisch mit dem [[absoluten Minimum]] (für a>0) bzw. [[absoluten Maximum]] (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes [[Koordinatensystem]] eingezeichnet werden.


Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für f(x)=a(x+d)^2+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e).
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für f(x)=a(x+d)²+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e).


Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der [[quadratischen Ergänzung]].
Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der [[quadratischen Ergänzung]].
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==Spezialfälle quadratischer Funktionen==
==Spezialfälle quadratischer Funktionen==


===y=x^2===
===y====
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞


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Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0)
Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0)


===y=ax^2+c===
===y=ax²+c===
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞


Wertebereich
Wertebereich:


füra>0: c ≤ y < + ∞
- für a>0: c ≤ y < + ∞


füra<0: - ∞ < y ≤ c
- für a<0: - ∞ < y ≤ c


Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c)
Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c)


===y=(x+d)^2+e===
===y=(x+d)²+e===
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞


Zeile 50: Zeile 50:
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞


Wertebereich: (-(p^2)/4)+q ≤ y < + ∞
Wertebereich: ((-)/4)+q ≤ y < + ∞


Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p^2)/4)+q)
Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-()/4)+q)


==Nullstellen einer quadratischen Funktion==
==Nullstellen einer quadratischen Funktion==


Für die quadratische Funktion f(x)=ax^2+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax^2+bx+c aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehrörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax^2+bx+c in die Normalform überführt:
Für die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax²+bx+c aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehrörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax²+bx+c in die Normalform überführt:


0=x^2+px+q mit p=b/a und q=c/a.
0=+px+q mit p=b/a und q=c/a.


Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet:  
Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet:  


x<small>1</small>=-(p/2)+<math>\sqrt{(p/2)^2-q}</math>
x<small>1</small>=-(p/2)+<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>


x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2)^2-q}</math>.
x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>.


Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2)^2-q wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.
Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2)²-q wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.


Die Funktion f(x)=x^2+px+q hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn D>0, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn D=0, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn D<0 ist.
Die Funktion f(x)=+px+q hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn D>0, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn D=0, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn D<0 ist.


==didaktischer Plün==
==didaktischer Plan==
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