Baustelle:Unendliche Objekte: Unterschied zwischen den Versionen

<ref name="literatur1">Orendt, Thorsten; Richter-Gebert, Jürgen (2009): ''Geometriekalküle''. Berlin, Heidelberg: Springer. Seite 2-6. </ref>

Fernpunkte sind Vektoren der Form <math>(x,y,0)</math>^T, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.

Sei <math>P(t)=(x·t,y·t,1)</math>^T ein Vektor, der mittels der [[Dehomogenisierung]] [[Datei:Abbildung.png]] dem Punkt <math>(x·t,y·t)</math>^T der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der [[projektiven Geometrie]] skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt <math>[P(t)]=[(x·t,y·t,1)</math>^T<math>=(x,y,1/t)</math>^T]. Der Grenzwert <math>t→∞</math> entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt <math>P(t)</math> bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene <math>z=1</math> immer weiter vom Ursprung weg.

In Darstellung der [[homogenen Koordinaten]] gilt[[Datei:Abbildung2.png]]. Also repräsentieren alle Vektor der Form <math>(x,y,0)</math>^T unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.

Alle Fernpunkte <math>(x,y,0)</math>^T liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden <math>l</math>_∞<math>=(0,0,1)</math>^T.

Auf jeder Geraden <math>g=(a,b,c)</math>^T mit <math>(a,b)≠(0,0)</math> liegt ein Fernpunkt <math>(x,y,0)</math>^T, denn es gilt    

<math><P,g>=0</math> für <math>x=-b</math> und <math>y=a</math>. Dieser Fernpunkt <math>P=(-b,a,0)</math>^T ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die  Ferngerade <math>l</math>_∞<math>=(0,0,1)</math>^T gilt für jeden Fernpunkt <math><P,</math> l_∞<math>>=0</math>, also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden <math>l</math>_∞.