Baustelle:Unendliche Objekte

In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den $\mathbb {R}$ ³ zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die unendlichen Objekte Fernpunkte und Ferngeraden eine große Rolle. ^[1]

Fernpunkte

Fernpunkte sind Vektoren der Form $(x,y,0)$ ^T, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.

Herleitung

Sei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle P(t)=(x·t,y·t,1)} ^T ein Vektor, der mittels der Dehomogenisierung dem Punkt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (x·t,y·t)} ^T der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der projektiven Geometrie skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle [P(t)]=[(x·t,y·t,1)} ^T $=(x,y,1/t)$ ^T]. Der Grenzwert Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle t→∞} entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt $P(t)$ bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene $z=1$ immer weiter vom Ursprung weg.

In Darstellung der homogenen Koordinaten gilt. Also repräsentieren alle Vektor der Form $(x,y,0)$ ^T unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.

Ferngeraden

Alle Fernpunkte $(x,y,0)$ ^T liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden $l$ _∞ $=(0,0,1)$ ^T.

Erklärung

Auf jeder Geraden $g=(a,b,c)$ ^T mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (a,b)≠(0,0)} liegt ein Fernpunkt $(x,y,0)$ ^T, denn es gilt $<P,g>=0$ für $x=-b$ und $y=a$ . Dieser Fernpunkt $P=(-b,a,0)$ ^T ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die Ferngerade $l$ _∞ $=(0,0,1)$ ^T gilt für jeden Fernpunkt $<P,$ l_∞ $>=0$ , also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden $l$ _∞.