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K
→Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen Erläuterungen und Veranschaulichungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]
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| ''Voraussetzung:'' <math>A,B,R</math> {{sp}} seien Mengen, {{sp}} <math>R\ne \varnothing</math> {{sp}} und {{sp}} <math>R\subseteq M\times M</math>. || ''Die nachfolgenden Erläuterungen deuten {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} als einen „'''Pfeil''' von {{sp}} <math>x</math> {{sp}} nach {{sp}} <math>y</math>“''. | | ''Voraussetzung:'' <math>A,B,R</math> {{sp}} seien Mengen, {{sp}} <math>R\ne \varnothing</math> {{sp}} und {{sp}} <math>R\subseteq M\times M</math>. || ''Die nachfolgenden Erläuterungen deuten {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} als einen „'''Pfeil''' von {{sp}} <math>x</math> {{sp}} nach {{sp}} <math>y</math>“''. | ||
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph). | | <math>R</math> {{sp}} ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph). | ||
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann '''nicht''' <math>yRx</math>. ) || Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph). | | <math>R</math> {{sp}} ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>yRx</math>. ) || Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph). | ||
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn {{sp}} <math>xRy</math> und <math>yRx</math>, {{sp}} dann <math>x=y</math>. || Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich. <ref>Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.</ref> | | <math>R</math> {{sp}} ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRx</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>x=y</math>. || Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich. <ref>Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.</ref> | ||
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> wenn {{sp}} <math>xRy</math> und <math>yRz</math>, {{sp}} dann <math>xRz</math>. || Wenn überhaupt eine Verbindung, dann eine kürzeste (Existenz von Überbrückungspfeilen). | | <math>R</math> {{sp}} ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRz</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>xRz</math>. || Wenn überhaupt eine Verbindung, dann eine kürzeste (Existenz von Überbrückungspfeilen). | ||
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''reflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> {{sp}} <math>xRx</math>. || Überall Schleifen. | | <math>R</math> {{sp}} ist '''reflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> {{sp}} <math>xRx</math>. || Überall Schleifen. | ||
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''irreflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> '''nicht''' <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen. | | <math>R</math> {{sp}} ist '''irreflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen. | ||
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''konnex in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} oder {{sp}} <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich.</ref> | | <math>R</math> {{sp}} ist '''konnex in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} oder {{sp}} <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich.</ref> | ||