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K
→Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen Erläuterungen und Veranschaulichungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]
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! Definitionen !! Anmerkungen | ! Definitionen !! Anmerkungen | ||
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| ''Voraussetzung:'' <math>A,B,R</math> seien Mengen, <math>R\ne \varnothing</math> und <math>R\subseteq M\times M</math>. || ''Die nachfolgenden Erläuterungen deuten <math>xRy</math> als einen „'''Pfeil''' von <math>x</math> nach <math>y</math>“''. | | ''Voraussetzung:'' <math>A,B,R</math> {{sp}} seien Mengen, {{sp}} <math>R\ne \varnothing</math> {{sp}} und {{sp}} <math>R\subseteq M\times M</math>. || ''Die nachfolgenden Erläuterungen deuten {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} als einen „'''Pfeil''' von {{sp}} <math>x</math> {{sp}} nach {{sp}} <math>y</math>“''. | ||
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| <math>R</math> ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> dann <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph). | | <math>R</math> {{sp}} ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph). | ||
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| <math>R</math> ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> dann '''nicht''' <math>yRx</math>. ) || Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph). | | <math>R</math> {{sp}} ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann '''nicht''' <math>yRx</math>. ) || Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph). | ||
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| <math>R</math> ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> und <math>yRx</math> dann <math>x=y</math>. || Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich. <ref>Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.</ref> | | <math>R</math> {{sp}} ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn {{sp}} <math>xRy</math> und <math>yRx</math>, {{sp}} dann <math>x=y</math>. || Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich. <ref>Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.</ref> | ||
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| <math>R</math> ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> wenn <math>xRy</math> und <math>yRz</math> dann <math>xRz</math>. || Wenn überhaupt eine Verbindung, dann eine kürzeste (Existenz von Überbrückungspfeilen). | | <math>R</math> {{sp}} ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> wenn {{sp}} <math>xRy</math> und <math>yRz</math>, {{sp}} dann <math>xRz</math>. || Wenn überhaupt eine Verbindung, dann eine kürzeste (Existenz von Überbrückungspfeilen). | ||
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| <math>R</math> ist '''reflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> <math>xRx</math>. || Überall Schleifen. | | <math>R</math> {{sp}} ist '''reflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> {{sp}} <math>xRx</math>. || Überall Schleifen. | ||
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| <math>R</math> ist '''irreflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> '''nicht''' <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen. | | <math>R</math> {{sp}} ist '''irreflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> '''nicht''' <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen. | ||
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| <math>R</math> ist '''konnex in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> <math>xRy</math> oder <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich.</ref> | | <math>R</math> {{sp}} ist '''konnex in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} oder {{sp}} <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich.</ref> | ||
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* '''Zur Beachtung:''' Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz '''„in <math>M</math>“''', was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich. | * '''Zur Beachtung:''' Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz '''„in <math>M</math>“''', was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich. | ||