Produktregel

Die Produktregel ist eine Ableitungsregel im Kalkül der Differentiation der Gestalt $(fg)'=f'g+fg'$

Sie ist die erste Ableitungsregel, die nicht den „natürlichen Erwartungen der Schüler entspricht, sondern unvorbereitet, erstmalig und komplex auftritt“ . Daher bedarf sie einer besonderen Einführung im Unterricht, die auf verschiedene Weisen erfolgen kann.

Anwendungsbeispiele

Beispiel 1

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} (fg) & = & 5x^{4}2x^{3} \\ f' & = & 20x^{3} \qquad g'= 6x^{2} \\ (fg)' & = & 20x^{3}2x^{3}+5x^{4}6x^{2}=40x^{6}+30x^{6}=70x^{6} \end{eqnarray} }

Durch Vereinfachung des Ausgangsterms wäre auch eine Berechnung der Ableitung ohne die Nutzung der Produktregel möglich gewesen.

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} (fg) & = & 10x^{7} \\ (fg)' & = & 70x^{6} \end{eqnarray} }

Für diese Art der Funktionen stellt die Produktregel also eher nicht das angemessene Berechnungskalkül dar.

Beispiel 2

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} (fg) & = & \sin{x}\cos{x} \\ f' & = & \cos{x} \qquad g'= -\sin{x} \\ (fg)' & = & \cos{x}\cos{x}+\sin{x}(-\sin{x})=\cos^{2}{x}-\sin^{2}{x} \end{eqnarray} }

Für diese Form der Aufgabe ist eine Nutzung der Produktregel unabdinglich.

Zugänge

Die Produktregel der Differentiation wird in der Regel im Analysisunterricht der Oberstufe eingeführt. Dem vorausgehend sind zunächst elementare Kenntnisse über den Grenzwert von Funktionen zu vermitteln. Ebenso wird zunächst der Differenzenquotient im Unterricht vorgestellt, mit dessen Hilfe sich die ersten Ableitungsregeln wie die Summen- und Faktorregel beweisen lassen. Diese beiden Regeln erscheinen den Schülern dabei natürlich und sind mit ihren Erwartungen konform. Die Einführung der Produktregel stellt nun jedoch eine Herausforderung dar, da sich die zunächst angenommene Formel $(fg)'=f'g'$ als falsch erweist. Eher unproblematisch ist hingegen die Aussage, dass das Produkt differenzierbar ist, da dies bereits von der Konvergenz her bekannt ist. Nun muss allerdings zunächst eine entsprechende Regel gefunden werden und deren Gültigkeit bewiesen werden. Für die konkrete Einführung der Produktregel sind nun verschiedene Methoden möglich, die sich in ihrem Schwierigkeitsgrad und ihrer Herangehensweise unterscheiden.

Elementarer Beweis

Als elementarster Beweis der Produktregel dient eine Abschätzung des Differentialquotienten im Sinne des Konvergenzbegriffes von Cauchy unter Verwendung der ε-δ-Konvergenz. Dieser Ansatz verfolgt jedoch einen sehr hohen formellen Grad und ist daher für die Schülererarbeitung eher ungeeignet. Im Laufe des Beweises erfolgt eine Nullergänzung, deren Motivation für die Schüler schwer nachvollziehbar ist. Weiterhin ist die Stetigkeit der Funktionen bereits in der Einführung der Nullergänzung zu berücksichtigen, was ebenfalls zu Verständnisproblemen führen kann.

Die Nullergänzung

Die möglichen falschen Schülervorstellungen über die Regel bei der Differentiation von Produkten lassen sich bei der Herleitung positiv nutzen.. Geht man zunächst von der falschen Behauptung $(fg)'=f'g'$ aus und betrachtet den Differenzenquotienten, so ergeben sich beim Aufspalten und Ausmultiplizieren des Produktes genau die Terme, die als überflüssig gelten und somit Bestandteil der Nullergänzung sind. Somit kann von einer falschen Aussage darauf geschlossen werden, wie der Term zu verändern ist, damit er das richtige Ergebnis liefert. Die Diskrepanzen zwischen Schülervorstellung und tatsächlichem Ergebnis können als Möglichkeit der Herleitung der Nullergänzung dienen.

Das Problem der Nullergänzung umgeht man indessen, wenn man von der entsprechenden Regel ausgehend auf den Differenzenquotienten zurückschließt. Hier wandelt sich die Nullergänzung zu einer gewöhnlichen Nullauflösung, die für die Schüler nicht schwer zu durchschauen ist. Die Notierungs- und Denkrichtung liegen hier im Einklang, so dass dieser Beweis didaktisch vorteilhafter ist, als die in Beweismöglichkeit 1 skizzierte Vorgehensweise. Zu beachten ist hier jedoch, dass ebenso die Stetigkeit der Funktionen bei den Grenzübergängen berücksichtigt werden muss. Das grundlegende Problem der Regelfindung wird durch diesen Beweis nicht gelöst.

Beweis mit Hilfe des Spezialfalls f=g

Eine weitere von Rüthing vorgestellte Beweisidee sieht zunächst den Zwischenschritt des Beweises des Spezialfalles der Produktregel für $f=g$ vor. Hat man vorher die zweite Potenzfunktion eingeführt, kann hier in einer Analogie die Regel formuliert werden: $(ff)'=2f'f$ Der Beweis des Spezialfalls kann dann folgendermaßen erfolgen:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} 2f'(x_{0})f(x_{0})&=&2 \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}f(x_{0})}\\ &=&\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}(f(x_{0})+f(x_{0}))}\\ &=&\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)+f(x_{0}))}\\ &=&\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{(ff)(x)-(ff)(x_{0})}{x-x_{0}}}\\ &=&(ff)' \end{eqnarray} }

Durch die Einführung über den Spezialfall wird die Problematik der Ausnutzung der Stetigkeit auf eine einzelne Stelle isoliert und ist somit einfacher verständlich. Der allgemeine Fall der Produktregel wird schließlich über eine weitere, den Schülern bereits vorher bekannte Gleichung $ab={\frac {1}{4}}((a+b)^{2}-(a-b)^{2})$, möglich. Wendet man diese auf das Produkt der Funktionen an und verwendet die bekannten Summen- und Potenzregel, so ergibt sich schließlich: $(fg)'(x_{0})=[{\frac {1}{4}}((f+g)^{2}-(f-g)^{2})]'(x_{0})={\frac {1}{4}}(2(f'+g')(f+g)-2(f'-g')(f-g))(x_{0})=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0}).$

Auf diese Weise gelingt es auch das Problem der Regelfindung zu lösen und dabei gänzlich die Schwierigkeiten der Nullergänzung zu umgehen. Man erkennt also, dass durch das Ausnutzen von Zwischen- und Hilfsschritten der Beweis der Produktregel der Differentialrechnung sehr elementar möglich ist.

Herleitung mit Hilfe der Sekantenanstiegsfunktion

Die Idee dieses Beweises baut darauf auf, dass die Ableitung als Grenzwert der Sekantenanstiegsfunktion bzw. Differenzenquotientenfunktion aufgefasst wird. Das Ausnutzen der Sekante bietet sich hierbei an, da es ein hohes Maß an bildlicher Vorstellung ermöglicht. Als Voraussetzung ist es ebenso nötig eine Bezeichnung für die Sekantenanstiegsfunktion einzuführen, wie z.B. $sk_{f}={\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$. Hiermit kann man durch Umstellen einen Ausdruck für die Funktion $f(x)$ in Abhängigkeit von $sk_{f}$ ermitteln. Setzt man nun in den Ansatz der Produktregel für die beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ diese Ausdrücke ein, so ergibt sich die Produktregel auf natürliche Weise, nachdem der Grenzübergang vollzogen wurde. Auf diese Weise umgeht man erneut das Problem der Nullergänzung und auch die Stetigkeit muss hier keine Erwähnung finden. Der Beweis der Quotientenregel kann auf analoge Weise durchgeführt werden.

Literatur

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2013): Produktregel. Version vom 29.01.2013. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Produktregel&oldid=9798.