CAT 2017 - 7. Computeralgebra-Tagung

Konferenz: 7. Computeralgebra-Tagung (CAT 2017). Kassel, Deutschland. Internet: 7. Computeralgebra-Tagung

Termin: 04. - 06. Mai 2017

Programmkomitee

• Wolfram Koepf

Hauptvorträge

Christian Eder (Kaiserslautern):

Aktuelle Softwareentwicklungen zum effizienten und parallelen Berechnen von Gröbnerbasen

Das Berechnen von Gröbnerbasen lässt sich zu großen Teilen auf lineare Algebra zurückführen: Der Reduktionsvorgang von Polynomen entspricht der Eliminierung von speziellen Matrizen (Macaulay Matrizen, Faugères F4 Algorithmus), ein Verfahren, das auf natürliche Weise parallelisiert werden kann. Weiterhin ergibt sich durch Informationen aus der Gröbnerbasis eine bestimmte Struktur der entsprechenden Matrizen, welche wiederum zur Optimierung der Elimination ausgenutzt werden kann. Wir präsentieren, basierend auf den oben genannten Ideen, zwei quelloffene und freie Softwarepakete zum effizienten und parallelen Berechnen von Gröbnerbasen. Hierbei werden wir eingehend die Möglichkeiten von Mehrkern-CPU-Systemen sowie die Herausforderungen der Skalierbarkeit von entsprechender Software diskutieren. Abschließend geben wir einen Ausblick auf gegenwärtige Implementierungsstudien im Bereich des verteilten sowie des heterogenen Rechnens (CPU/GPU). Teile des Vortrags beruhen auf einer Zusammenarbeit mit Jean-Charles Faugère.

Stephan Elsenhans (Paderborn):

Berechnungen zur Geometrie und Arithmetik algebraischer Flächen

Algebraische Flächen werden seit über 100 Jahren in der Mathematik studiert. Sie entstehen als Lösungsmengen polynomieller Gleichungen. Ist eine solche Fläche als Nullstellenmenge von Polynomen mit ganzen Koeffizienten gegeben, so kann man diese Nullstellenmenge einerseits als komplexe Mannigfaltigkeit verstehen, andererseits aber kann man diese Polynome auch modulo einer Primzahl reduzieren und dann die Lösungsmenge betrachten. Es zeigt sich, dass diese beiden Betrachtungsweisen aufs engste verwandt sind. Im Vortrag möchte ich zeigen, wie dieses Wechselspiel algorithmisch genutzt werden kann, d.h., ich möchte Algorithmen vorstellen, die über endlichen Körpern arbeiten und Aussagen über komplexe algebraische Mannigfaltigkeiten liefern. Im weiteren werden diese Algorithmen dann zur Suche von algebraischen Flächen mit speziellen Eigenschaften eingesetzt.

Meinolf Geck (Stuttgart):

Computations with structures in Lie theory

Lie algebras and Lie groups, and various algebraic structures related to them, admit combinatorial skeletons which make it possible to perform calculations in a highly efficient way. We present a number of examples and applications.

Alice Niemeyer (Aachen):

Randomisierte Algorithmen in der Gruppentheorie

Gruppen beschreiben Symmetrien von Objekten und spielen daher eine wichtige Rolle in vielen Gebieten der Mathematik und der Naturwissenschaften. In vielen Situationen werden Gruppen durch eine kleine Menge von Elementen beschrieben, zum Beispiel kann eine Matrixgruppe durch wenige Matrizen erzeugt werden. Eine solche Beschreibung einer Gruppe eignet sich besonders gut, um mit der Gruppe auf einem Computer zu rechnen. In der Tat ermöglichen moderne Computeralgebrasysteme es, viele wichtige Fragen über konkrete Gruppen mit Hilfe eines Computers zu beantworten. Allerdings können selbst endliche Gruppen sehr viele verschiedene Elemente haben. So hat zum Beispiel die Gruppe aller Permutationen einer Menge der Mächtigkeit 100 schon mehr als 10157 Elemente, während die Gruppe der invertierbaren binären 20×20 Matrizen mehr als 10119 Elemente hat. Daher ist es nicht sehr verwunderlich, dass moderne Algorithmen in der Gruppentheorie randomisiert sind. Solche Algorithmen ziehen Schlussfolgerungen aus der Betrachtung weniger zufällig gewählter Elemente. Können wir uns aber auf eine Antwort eines randomisierten Algorithmus verlassen?

Daniel Robertz (Plymouth):

Eliminationsverfahren für nicht-lineare PDE-Systeme

Analog zur Korrespondenz zwischen Radikalidealen eines Polynomrings und Varietäten in der algebraischen Geometrie gibt es eine Korrespondenz zwischen Radikaldifferentialidealen und den Mengen von analytischen Funktionen, die Lösungen der zugehörigen Systeme von polynomialen partiellen Differentialgleichungen (PDE) sind. In diesem Vortrag werden algorithmische Aspekte dieser Korrespondenz untersucht. Insbesondere wird eine Einführung in die Methode der differentiellen Thomas-Zerlegung gegeben. Dabei wird ein nicht-lineares PDE-System in endlich viele sogenannte einfache Systeme zerlegt, deren Lösungsmengen eine Partition der Lösungsmenge des gegebenen PDE-Systems bilden und deren Potenzreihenlösungen sich einfach bestimmen lassen. Umgekehrt lassen sich gewisse Mengen von analytischen Funktionen implizit durch Differentialgleichungen und -ungleichungen beschreiben. Es werden Verfahren zur Lösung der sich ergebenden Eliminationsprobleme vorgestellt. Eine Implementation der differentiellen Thomas-Zerlegung als Maple-Paket ist frei erhältlich.