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Weg-Zeit-Diagramme (eigentlich: Zeit-Weg-Diagramme) sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt. | |||
Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abszissenachse, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen. | |||
Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Differenzenquotienten <math>\frac{\Delta s}{\Delta t}</math> ermittelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht dem Differentialquotienten <math>\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}</math>, der ersten Ableitung an der Stelle <math>t_0</math>. | |||
== Anwendung im Mathematikunterricht == | |||
Für den Mathematikunterricht kann man diese Form der Darstellung von Funktionen nutzen, um die Begriffe Ableitung, Differenzenquotient, Anstieg usw. praxisnah zu erklären. Dabei kann eine Verbindung zum Physik-Unterricht und umgekehrt hergestellt werden. | |||
== Beispielaufgaben == | |||
=== Gleichförmige Bewegung === | |||
Ein Auto fahre mit konstanter Geschwindigkeit von A nach B. Dabei hat es folgende Wege nach folgenden Zeiten zurückgelegt: | |||
{| class="wikitable" border="1" | |||
|- | |||
! Weg in m | |||
! Zeit in s | |||
|- | |||
| 5 | |||
| 1 | |||
|- | |||
| 10 | |||
| 2 | |||
|- | |||
| 15 | |||
| 3 | |||
|- | |||
| 20 | |||
| 4 | |||
|} | |||
Zeichnet man diese Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm und vervollständigt sie geeignet, so entsteht folgender Graph: | |||
Weg-Zeit- | |||
[[Datei:Auto1.jpg|600px]] | |||
<math> t \rightarrow s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]]. Der Anstieg der Funktion entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit und kann über das Steigungsdreieck (Differenzenquotient) ermittelt werden: | |||
<math>m={\frac{\Delta s}{\Delta t}}={\frac{20 m-5 m}{4 s-1 s}}=5 \frac{m}{s}=\overline v</math>. | |||
Damit hat man für die Bewegung des Autos eine Funktion gefunden: | |||
<math>t \rightarrow s(t)=5\frac{m}{s} \cdot t</math> | |||
Die Momentangeschwindigkeit z. B. zum Zeitpunkt <math>t=2,5 s</math> ermittelt man durch Bilden der Ableitung der Funktion <math>s(t)=5 \frac{m}{s} \cdot t</math> und Einsetzen von <math>t=2,5 s</math>: | |||
<math>v(t)=s'(t)=5\frac{m}{s}</math> | |||
Das Auto fährt, egal zu welchem Zeitpunkt, mit konstanter Geschwindigkeit. Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung. | |||
<math>v(t=2,5 s)=s'(t=2,5 s)=5 \frac{m}{s}</math> | |||
=== Gleichmäßig beschleunigte Bewegung === | |||
Etwas eindrucksvoller ist die Betrachtung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, etwa beim Anfahren eines Autos an einer Ampel: | |||
Eine Auto beschleunige mit <math>a=3\frac{m}{s^2}</math>. Folgende Messwerte wurden aufgenommen: | |||
{| class="wikitable" border="1" | |||
|- | |||
! Weg in m | |||
! Zeit in s | |||
|- | |||
| 1,5 | |||
| 1 | |||
|- | |||
| 6 | |||
| 2 | |||
|- | |||
| 13,5 | |||
| 3 | |||
|- | |||
| 24 | |||
| 4 | |||
|- | |||
| 37,5 | |||
| 5 | |||
|- | |||
| 54 | |||
| 6 | |||
|} | |||
Hier erhält man für das <math>s(t)</math>-Diagramm folgenden Graph: | |||
[[Datei:Auto2.jpg|600px]] | |||
Der entstandene Funktionsgraph ist ein Teil einer [[Quadratische Funktionen|Parabel 2. Grades]]. | |||
Auch hier kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit anhand des Differenzenquotienten ermitteln. | |||
Die Funktion <math>t \rightarrow s(t)=\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_0</math> beschreibt die Bewegung des Fahrzeugs. Da das Auto hier keine Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> hat und der Anfangsweg <math>s_0</math> ebenfalls 0 ist, verschwinden hier diese Terme in dieser Gleichung. | |||
Es interessiert die (Momentan-)Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t=3,5 s</math>. | |||
<math>v(t)=s'(t)=2\cdot \frac{a}{2} \cdot t=a \cdot t</math> | |||
<math> s(t) | <math>v(t=3,5 s)=s'(t=3,5 s)=3\frac{m}{s^2} \cdot 3,5 s=10,5 \frac{m}{s} </math> | ||
Interessant wird die Aufgabe nun, wenn man die Problematik der Gefahrenbremsung betrachtet: | |||
<math> | Das Auto kann mit einer maximalen negativen Beschleunigung <math>a</math> bremsen/verzögern. Nun kommt ein Hindernis vor das Auto, welches mit einer bestimmten (Anfangs-)Geschwindigkeit <math>v_0</math> fährt. Unter Berücksichtigung einer Reaktionszeit ist zu berechnen, ob es das Auto schafft, rechtzeitig zum Stillstand zu kommen. | ||
Sollte dies nicht der Fall sein, so kann man die Geschwindigkeit beim Aufprall bestimmen. | |||
[[Kategorie: Analysis]] | [[Kategorie:Analysis]] | ||
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