Weg-Zeit-Diagramme: Unterschied zwischen den Versionen

Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abzissen-, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Differenzenquotienten <math>\frac{\Delta s}{\Delta t}</math> ermittelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht dem Differentialquotienten <math>\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}</math> bzw. der ersten Ableitung an der Stelle <math>t_0</math>.

Für den Mathematikunterricht kann man diese Form der Darstellung von Funktionen nutzen, um die Begriffe Ableitung, Differenzenquotient, Anstieg, usw. praxisnah zu erklären. Dabei kann eine Verbindung zum Physik-Unterricht und umgekehrt hergestellt werden.

Zeichnet man diese Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm, so entsteht folgender Graph:

<math> s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]]. Der Anstieg der Funktion entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit und kann über das Steigungsdreieck (Differenzenquotient) ermittelt werden:

<math>m={\frac{\Delta s}{\Delta t}}={\frac{20m-5m}{4s-1s}}=5 \frac{m}{s}=\overline v</math>.

<math>s(t)=5\frac{m}{s} \cdot t</math>

Die Momentangeschwindigkeit z.B. zum Zeitpunkt <math>t=2,5s</math> ermittelt man durch Bilden der Ableitung der Funktion <math>s(t)=5 \frac{m}{s} \cdot t</math> und Einsetzen von <math>t=2,5s</math>:

Man erkennt, dass das Auto, egal zu welchem Zeitpunkt tatsächlich mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Es handelt sich um eine geradlinig gleichförmige Bewegung.

<math>v(t=2,5s)=s'(t=2,5s)=5 \frac{m}{s}</math>

=== Beschleunigte Bewegung ===

Etwas eindrucksvoller ist die Betrachtung einer geradlinig beschleunigten Bewegung, etwa beim Anfahren eines Autos an einer Ampel:

Die Funktion <math>s(t)=\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_0</math> beschreibt die Bewegung des Fahrzeugs. Da das Auto keine Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> hat und der Anfangsweg <math>s_0</math> ebenfalls 0 ist, verschwinden diese Terme aus der Ausgangsgleichung.

Es interessiert die (Momentan-) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t=3,5s</math>.

<math>v(t=3,5s)=s'(t=3,5s)=3\frac{m}{s^2} \cdot 3,5s=10,5 \frac{m}{s} </math>

Das Auto kann mit einer maximalen negativen Beschleunigung <math>a</math> bremsen/verzögern. Nun kommt ein Hindernis vor das Auto, welches mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> fährt. Berücksichtigt man eine Schrecksekunde, ist zu berechnen, ob es das Auto schafft, rechtzeitig zu bremsen.