Weg-Zeit-Diagramme: Unterschied zwischen den Versionen

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Passive Sichter, Bürokraten, Sichter, Prüfer

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+Weg-Zeit-Diagramme (eigentlich: Zeit-Weg-Diagramme) sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt.
+Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abszissenachse, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen.
+Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Differenzenquotienten <math>\frac{\Delta s}{\Delta t}</math> ermittelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht dem Differentialquotienten <math>\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}</math>, der ersten Ableitung an der Stelle <math>t_0</math>.
+== Anwendung im Mathematikunterricht ==
+Für den Mathematikunterricht kann man diese Form der Darstellung von Funktionen nutzen, um die Begriffe Ableitung, Differenzenquotient, Anstieg usw. praxisnah zu erklären. Dabei kann eine Verbindung zum Physik-Unterricht und umgekehrt hergestellt werden.
+== Beispielaufgaben ==
+=== Gleichförmige Bewegung ===
+Ein Auto fahre mit konstanter Geschwindigkeit von A nach B. Dabei hat es folgende Wege nach folgenden Zeiten zurückgelegt:
+{| class="wikitable" border="1"
+|-
+! Weg in m
+! Zeit in s
+|-
+| 5
+| 1
+|-
+| 10
+| 2
+|-
+| 15
+| 3
+|-
+| 20
+| 4
+|}
+Zeichnet man diese Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm und vervollständigt sie geeignet, so entsteht folgender Graph:
+[[Datei:Auto1.jpg|600px]]
+<math> t \rightarrow s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]]. Der Anstieg der Funktion entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit und kann über das Steigungsdreieck (Differenzenquotient) ermittelt werden:
+<math>m={\frac{\Delta s}{\Delta t}}={\frac{20 m-5 m}{4 s-1 s}}=5 \frac{m}{s}=\overline v</math>.
+Damit hat man für die Bewegung des Autos eine Funktion gefunden:
-Weg-Zeit-Diagramme sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt.
+<math>t \rightarrow s(t)=5\frac{m}{s} \cdot t</math>
+Die Momentangeschwindigkeit z. B. zum Zeitpunkt <math>t=2,5 s</math> ermittelt man durch Bilden der Ableitung der Funktion <math>s(t)=5 \frac{m}{s} \cdot t</math> und Einsetzen von <math>t=2,5 s</math>:
+<math>v(t)=s'(t)=5\frac{m}{s}</math>
+Das Auto fährt, egal zu welchem Zeitpunkt, mit konstanter Geschwindigkeit. Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung.
+<math>v(t=2,5 s)=s'(t=2,5 s)=5 \frac{m}{s}</math>
+=== Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ===
+Etwas eindrucksvoller ist die Betrachtung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, etwa beim Anfahren eines Autos an einer Ampel:
+Eine Auto beschleunige mit <math>a=3\frac{m}{s^2}</math>. Folgende Messwerte wurden aufgenommen:
+{| class="wikitable" border="1"
+|-
+! Weg in m
+! Zeit in s
+|-
+| 1,5
+| 1
+|-
+| 6
+| 2
+|-
+| 13,5
+| 3
+|-
+| 24
+| 4
+|-
+| 37,5
+| 5
+|-
+| 54
+| 6
+|}
+Hier erhält man für das <math>s(t)</math>-Diagramm folgenden Graph:
+[[Datei:Auto2.jpg|600px]]
+Der entstandene Funktionsgraph ist ein Teil einer [[Quadratische Funktionen|Parabel 2. Grades]].
-Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abzissen-, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen.
+Auch hier kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit anhand des Differenzenquotienten ermitteln.
-Der Anstieg zu einem Zeitpunkt ''t'' ist die Geschwindigkeit.
-==Beispielaufgabe==
+Die Funktion <math>t \rightarrow s(t)=\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_0</math> beschreibt die Bewegung des Fahrzeugs. Da das Auto hier keine Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> hat und der Anfangsweg <math>s_0</math> ebenfalls 0 ist, verschwinden hier diese Terme in dieser Gleichung.
+Es interessiert die (Momentan-)Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t=3,5 s</math>.
-Ein Auto fahre mit konstanter Geschwindigkeit. Es legt in 2 Sekunden 10 Meter, in 4 Sekunden 20 Meter zurück. Folgendes Weg-Zeit-Diagrammentsteht:
+<math>v(t)=s'(t)=2\cdot \frac{a}{2} \cdot t=a \cdot t</math>
+<math>v(t=3,5 s)=s'(t=3,5 s)=3\frac{m}{s^2} \cdot 3,5 s=10,5 \frac{m}{s} </math>
+Interessant wird die Aufgabe nun, wenn man die Problematik der Gefahrenbremsung betrachtet:
+Das Auto kann mit einer maximalen negativen Beschleunigung <math>a</math> bremsen/verzögern. Nun kommt ein Hindernis vor das Auto, welches mit einer bestimmten (Anfangs-)Geschwindigkeit <math>v_0</math> fährt. Unter Berücksichtigung einer Reaktionszeit ist zu berechnen, ob es das Auto schafft, rechtzeitig zum Stillstand zu kommen.
+Sollte dies nicht der Fall sein, so kann man die Geschwindigkeit beim Aufprall bestimmen.
-<math> s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]].
+[[Kategorie:Analysis]]
+{{Zitierhinweis}}