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Bearbeitungen
Produktregel: Unterschied zwischen den Versionen
K
→Beweis mit Hilfe des Spezialfalls f=g
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Der Beweis des Spezialfalls kann dann folgendermaßen erfolgen: | Der Beweis des Spezialfalls kann dann folgendermaßen erfolgen: | ||
<math> 2f'(x_{0})f(x_{0})=2 \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}f(x_{0})}= \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}(f(x_{0})+f(x_{0}))}=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)+f(x_{0}))}=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{(ff)(x)-(ff)(x_{0})}{x-x_{0}}}=(ff)' </math> | <math> | ||
\begin{eqnarray} | |||
2f'(x_{0})f(x_{0})=2 \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}f(x_{0})}= \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}(f(x_{0})+f(x_{0}))}\\ | |||
&=&\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)+f(x_{0}))}\\ | |||
&=&\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{(ff)(x)-(ff)(x_{0})}{x-x_{0}}}\\ | |||
&=&(ff)' | |||
\end{eqnarray} | |||
</math> | |||
Durch die Einführung über den Spezialfall wird die Problematik der Ausnutzung der Stetigkeit auf eine einzelne Stelle isoliert und ist somit einfacher verständlich. Der allgemeine Fall der Produktregel wird schließlich über eine weitere, den Schülern bereits vorher bekannte Gleichung <math> ab=\frac{1}{4}((a+b)^{2}-(a-b)^{2}) </math>, möglich. | Durch die Einführung über den Spezialfall wird die Problematik der Ausnutzung der Stetigkeit auf eine einzelne Stelle isoliert und ist somit einfacher verständlich. Der allgemeine Fall der Produktregel wird schließlich über eine weitere, den Schülern bereits vorher bekannte Gleichung <math> ab=\frac{1}{4}((a+b)^{2}-(a-b)^{2}) </math>, möglich. | ||
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<math> (fg)'(x_{0})=[\frac{1}{4}((f+g)^{2}-(f-g)^{2})]'(x_{0})=\frac{1}{4}(2(f'+g')(f+g)-2(f'-g')(f-g))(x_{0})=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0}). </math> | <math> (fg)'(x_{0})=[\frac{1}{4}((f+g)^{2}-(f-g)^{2})]'(x_{0})=\frac{1}{4}(2(f'+g')(f+g)-2(f'-g')(f-g))(x_{0})=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0}). </math> | ||
Auf diese Weise gelingt es auch das Problem der Regelfindung zu lösen und dabei gänzlich die Schwierigkeiten der Nullergänzung zu umgehen. Man erkennt also, dass durch das Ausnutzen von Zwischen- und Hilfsschritten der Beweis der Produktregel der Differentialrechnung sehr elementar möglich ist. | Auf diese Weise gelingt es auch das Problem der Regelfindung zu lösen und dabei gänzlich die Schwierigkeiten der Nullergänzung zu umgehen. Man erkennt also, dass durch das Ausnutzen von Zwischen- und Hilfsschritten der Beweis der Produktregel der Differentialrechnung sehr elementar möglich ist. | ||
=== Herleitung mit Hilfe der Sekantenanstiegsfunktion <ref >[[Heinz Griesel|Griesel, H.]]: Zur Herleitung der Produktregel und der Quotientenregel in der Differentialrechnung. In: Praxis der Mathematik 23 (1981), H.9, S. 276-277 </ref> === | === Herleitung mit Hilfe der Sekantenanstiegsfunktion <ref >[[Heinz Griesel|Griesel, H.]]: Zur Herleitung der Produktregel und der Quotientenregel in der Differentialrechnung. In: Praxis der Mathematik 23 (1981), H.9, S. 276-277 </ref> === | ||