Leitidee Zahl

Unter der Leitidee 'Zahl' (L 1) werden inhaltsbezogene Kompetenzen in den Bildungsstandards Mathematik der Kultusministerkonferenz gruppiert. Die Leitidee 'Zahl' wird in den Bildungsstandards für die Primarstufe zur Leitidee 'Zahlen und Operationen' (L 1) und in den Bildungsstandards für die Allgemeine Hochschulreife zur Leitidee 'Algorithmus und Zahl' (L 1) erweitert.

'Zahlen und Operationen' (L 1) in den Bildungsstandards für die Primarstufe (Jgst. 4)

Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen

• den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems verstehen
• Zahlen bis 1.000.000 auf verschiedene Weise darstellen und zueinander in Beziehung setzen
• sich im Zahlenraum bis 1.000.000 orientieren (z.B. Zahlen der Größe nach ordnen, runden)

Rechenoperationen verstehen und beherrschen

• die vier Grundrechenarten und ihre Zusammenhänge verstehen
• die Grundaufgaben des Kopfrechnens (Einspluseins, Einmaleins, Zahlzerlegungen) gedächtnismäßig beherrschen, deren Umkehrungen sicher ableiten und diese Grundkenntnisse auf analoge Aufgaben in größeren Zahlenräumen übertragen
• mündliche und halbschriftliche Rechenstrategien verstehen und bei geeigneten Aufgaben anwenden
• verschiedene Rechenwege vergleichen und bewerten; Rechenfehler finden, erklären und korrigieren
• Rechengesetze erkennen, erklären und benutzen
• schriftliche Verfahren der Addition, Subtraktion und Multiplikation verstehen, geläufig ausführen und bei geeigneten Aufgaben anwenden
• Lösungen durch Überschlagsrechnungen und durch Anwenden der Umkehroperation kontrollieren.

In Kontexten rechnen

• Sachaufgaben lösen und dabei die Beziehungen zwischen der Sache und den einzelnen Lösungsschritten beschreiben
• das Ergebnis auf Plausibilität prüfen
• bei Sachaufgaben entscheiden, ob eine Überschlagsrechnung ausreicht oder ein genaues Ergebnis nötig ist
• Sachaufgaben systematisch variieren
• einfache kombinatorische Aufgaben (z.B. Knobelaufgaben) durch Probieren bzw. systematisches Vorgehen lösen.

'Zahl' (L 1) in den Bildungsstandards für den Hauptschulabschluss (Jgst. 9)

Die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss (Jahrgangsstufe 9) nennen als inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen, die der Leitidee Zahl zuzuordnen sind, die folgenden: "Die Schülerinnen und Schüler ...

• nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen, insbesondere von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit,
• stellen Zahlen der Situation angemessen dar, unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise,
• rechnen mit natürlichen, gebrochenen und negativen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, auch im Kopf,
• nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen,
• nutzen Überschlagsrechnungen,
• runden Zahlen dem Sachverhalt entsprechend sinnvoll,
• verwenden Prozent- und Zinsrechnung sachgerecht,
• erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge,
• wählen und beschreiben Vorgehensweisen und Verfahren, denen Al­gorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen,
• prüfen und interpretieren Ergebnisse in Sachsituationen.”

'Zahl' (L 1) in den Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss (Jgst. 10)

Die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss (Jahrgangsstufe 10) nennen als inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen, die der Leitidee Zahl zuzuordnen sind, die folgenden: "Die Schülerinnen und Schüler ...

• nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen, insbesondere von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit,
• stellen Zahlen der Situation angemessen dar, unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise,
• begründen die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen an Beispielen,
• nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen,
• nutzen zur Kontrolle Überschlagsrechnungen und andere Verfahren,
• runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll,
• verwenden Prozent- und Zinsrechnung sachgerecht,
• erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge,
• wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen,
• führen in konkreten Situationen kombinatorische Überlegungen durch, um die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten zu bestimmen,
• prüfen und interpretieren Ergebnisse in Sachsituationen unter Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells und seiner Bearbeitung.”

'Algorithmus und Zahl' (L 1) in den Bildungsstandards für die Allgemeine Hochschulreife

Die Kompetenzen zu dieser Leitidee werden in drei Anforderungsniveaus beschrieben:

Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau:

• geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen auswählen
• ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und es anwenden
• Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen
• einfache Sachverhalte mit Tupeln oder Matrizen beschreiben
• mathematische Prozesse durch Matrizen unter Nutzung von Matrizenmultiplikation und inversen Matrizen beschreiben (A1)

Erhöhtes Anforderungsniveau

• Potenzen von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen nutzen (A1)
• Grenzmatrizen sowie Fixvektoren interpretieren (A1)

Vergleich der Leitidee 'Zahl' (L 1) zwischen MSA und HSA

Im Vergleich ergibt sich für den Mittleren Schulabschluss zusätzlich:

• Es soll die Kompetenz erworben werden, die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen zu begründen.
• Es werden neben Überschlagsrechnungen weitere Verfahren zur Kontrolle verwendet.
• Nicht nur Zahlen, sondern Rechenergebnisse müssen sinnvoll gerundet werden.
• Verfahren auf der Grundlage von Algorithmen und Kalkülen sollen nicht nur ausgewählt und beschrieben, sondern auch bewertet werden.
• Kombinatorische Überlegungen zur Anzahl von Lösungen sollen durchgeführt werden.
• Modelle und ihre Bearbeitung sollen kritisch eingeschätzt werden werden.

Literatur

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2016): Leitidee Zahl. Version vom 4.09.2016. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Leitidee_Zahl&oldid=25533.