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In der [[projektiven Geometrie]] werden [[homogene Koordinaten]] genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den <math>\mathbb{R}</math><sup>3</sup> zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die [[unendlichen Objekte]] '''Fernpunkte''' und '''Ferngeraden''' eine große Rolle. | In der [[projektiven Geometrie]] werden [[homogene Koordinaten]] genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den <math>\mathbb{R}</math><sup>3</sup> zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die [[unendlichen Objekte]] '''Fernpunkte''' und '''Ferngeraden''' eine große Rolle. | ||
<ref name="literatur1"> | <ref name="literatur1">Orendt, Thorsten; Richter-Gebert, Jürgen (2009): ''Geometriekalküle''. Berlin, Heidelberg: Springer. Seite 2-6. </ref> | ||
== Fernpunkte == | == Fernpunkte == | ||
Fernpunkte sind Vektoren der Form (x,y,0)<sup>T</sup>, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet. | Fernpunkte sind Vektoren der Form <math>(x,y,0)</math><sup>T</sup>, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet. | ||
=== Herleitung === | === Herleitung === | ||
Sei P(t)=(x·t,y·t,1)<sup>T</sup> ein Vektor, der mittels der [[Dehomogenisierung]][[Datei:Abbildung.png]] dem Punkt (x·t,y·t)<sup>T</sup> der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der [[projektiven Geometrie]] skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt <math>[P(t)]=[( | Sei <math>P(t)=(x·t,y·t,1)</math><sup>T</sup> ein Vektor, der mittels der [[Dehomogenisierung]] [[Datei:Abbildung.png]] dem Punkt <math>(x·t,y·t)</math><sup>T</sup> der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der [[projektiven Geometrie]] skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt <math>[P(t)]=[(x·t,y·t,1)</math><sup>T</sup><math>=(x,y,1/t)</math><sup>T</sup>]. Der Grenzwert <math>t→∞</math> entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt <math>P(t)</math> bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene <math>z=1</math> immer weiter vom Ursprung weg. | ||
In Darstellung der [[homogenen Koordinaten]] gilt[[Datei:Abbildung2.png]]. Also repräsentieren alle Vektor der Form <math>(x,y,0)<sup>T</sup | In Darstellung der [[homogenen Koordinaten]] gilt[[Datei:Abbildung2.png]]. Also repräsentieren alle Vektor der Form <math>(x,y,0)</math><sup>T</sup> unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert. | ||
== Ferngeraden == | == Ferngeraden == | ||
Alle Fernpunkte <math>(x,y,0)<sup>T</sup | Alle Fernpunkte <math>(x,y,0)</math><sup>T</sup> liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden <math>l</math><sub>∞</sub><math>=(0,0,1)</math><sup>T</sup>. | ||
=== Erklärung === | === Erklärung === | ||
Auf jeder Geraden <math>g=(a,b,c)<sup>T</sup | Auf jeder Geraden <math>g=(a,b,c)</math><sup>T</sup> mit <math>(a,b)≠(0,0)</math> liegt ein Fernpunkt <math>(x,y,0)</math><sup>T</sup>, denn es gilt | ||
<math><P,g>=0</math> für <math>x=-b</math> und <math>y=a</math>. Dieser Fernpunkt <math>P=(-b,a,0)</math><sup>T</sup> ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die Ferngerade <math>l</math><sub>∞</sub><math>=(0,0,1)</math><sup>T</sup> gilt für jeden Fernpunkt <math><P,</math> l<sub>∞</sub><math>>=0</math>, also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden <math>l</math><sub>∞</sub>. | |||