Baustelle:Unendliche Objekte: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 5. Februar 2015, 14:34 Uhr

In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den $\mathbb {R} 3$ zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die unendlichen Objekte Fernpunkte und Ferngeraden eine große Rolle. ^[1]

Fernpunkte

Fernpunkte sind Vektoren der Form $(x,y,0)T$ , die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.

Herleitung

Sei $P(t)=(xt,yt,1)T$ ein Vektor, der mittels der Dehomogenisierung dem Punkt $(xt,yt)T$ der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der projektiven Geometrie skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt $[P(t)]=[(xt,yt,1)T=(x,y,1/t)T]$ . Der Grenzwert t→∞ entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt P(t) bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene $z=1$ immer weiter vom Ursprung weg.

In Darstellung der homogenen Koordinaten gilt. Also repräsentieren alle Vektor der Form $(x,y,0)T$ unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.

Ferngeraden

Alle Fernpunkte $(x,y,0)T$ liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l∞=(0,0,1)T} .

Erklärung

Auf jeder Geraden $g=(a,b,c)T$ mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (a,b)≠(0,0)} liegt ein Fernpunkt $(x,y,0)T$ , denn es gilt $<P,g>=0$ für x=-b und y=a. Dieser Fernpunkt $P=(-b,a,0)T$ ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die Ferngerade Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l∞=(0,0,1)T} gilt für jeden Fernpunkt P': Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle <P',l∞>=0} , also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l∞=(0,0,1)T} .

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[literatur1-1] Literaturangaben werden über "ref" referenziert. Diese tauchen dann automatisch unter Literatur durch das "references"-tag auf. Weitere Informationen finden Sie unter Hilfe:Literaturangaben

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+In der [[projektiven Geometrie]] werden [[homogene Koordinaten]] genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den <math>\mathbb{R}<sup>3</sup></math> zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die [[unendlichen Objekte]] '''Fernpunkte''' und '''Ferngeraden''' eine große Rolle.
 <ref name="literatur1">Literaturangaben werden über "ref" referenziert. Diese tauchen dann automatisch unter Literatur durch das "references"-tag auf. Weitere Informationen finden Sie unter [[Hilfe:Literaturangaben]]</ref>
-== Weitere Bedeutungen ==
+== Fernpunkte ==
-Weitere Bedeutungen und Standpunkte können in weiteren Abschnitten erläutert werden. Diese sollten geeignet benannt werden.
+Fernpunkte sind Vektoren der Form <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math>, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.
-== Forschungsumfeld ==
+=== Herleitung ===
-In diesem Abschnitt sollen [[:Kategorie:Institutionen|Arbeitsgruppen]] und [[:Kategorie:Personen|Personen]] benannt werden, die sich mit diesem Begriff in der Forschung beschäftigen. Bitte nutzen Sie die Möglichkeit, auf deren Einträge in Madipedia zu verweisen, auch falls eine Person noch keinen eigenen Eintrag hat.
+Sei <math>P(t)=(xt,yt,1)<sup>T</sup></math> ein Vektor, der mittels der Dehomogenisierung[[Datei:Abbildung.png]] dem Punkt <math>(xt,yt)<sup>T</sup></math> der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der [[projektiven Geometrie]] skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt <math>[P(t)]=[(xt,yt,1)<sup>T</sup>=(x,y,1/t)<sup>T</sup>]</math>. Der Grenzwert t→∞ entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt P(t) bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene <math>z=1</math> immer weiter vom Ursprung weg.
+In Darstellung der [[homogenen Koordinaten]] gilt[[Datei:Abbildung2.png]]. Also repräsentieren alle Vektor der Form <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math> unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.
-== Genese ==
+== Ferngeraden ==
-Unter der Überschrift Genese können historische Zusammenhänge erläutert werden und die Entwicklung eines Begriffes über die Zeit hinweg dokumentiert werden.<ref name="literatur1"/>
+Alle Fernpunkte <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math> liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden <math>l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup></math>.
+=== Erklärung ===
-== Fachdidaktische Diskussion ==
+Auf jeder Geraden <math>g=(a,b,c)<sup>T</sup></math> mit <math>(a,b)≠(0,0)</math> liegt ein Fernpunkt <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math>, denn es gilt <math><P,g>=0</math> für x=-b und y=a. Dieser Fernpunkt <math>P=(-b,a,0)<sup>T</sup></math> ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die  Ferngerade <math>l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup></math> gilt für jeden Fernpunkt P': <math><P',l<sub>∞</sub>>=0</math>, also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden <math>l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup></math>.
-Unter dieser Überschrift können fachdidaktische Kontroversen zum Begriff beschrieben werden. Die Diskussion ''über die Seite selbst'' sollte auf der dazugehörigen [[Diskussion:{{PAGENAME}}|Diskussionsseite]] (siehe die Reiter über dem Artikel) geführt werden.
-In einem separaten Abschnitt unter der Überschrift "Genese" können historische Entwicklungen dokumentiert werdenIn einem separaten Abschnitt unter der Überschrift "Diskussion" können fachdidaktische Kontroversen beschrieben werden.
-== Literatur ==
-<references />
-{{zitierhinweis}}

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