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Produktregel: Unterschied zwischen den Versionen
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Der Beweis des Spezialfalls kann dann folgendermaßen erfolgen: | Der Beweis des Spezialfalls kann dann folgendermaßen erfolgen: | ||
<math> 2f'(x_{0})f(x_{0})=2 \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}f(x_{0})}= \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}(f(x_{0})+f(x_{0}))}=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}(f(x)+f(x_{0}))}=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{(ff)(x)-(ff)(x_{0})}{x-x_{0}}}=(ff)' </math> | <math> 2f'(x_{0})f(x_{0})=2 \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}f(x_{0})}= \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}(f(x_{0})+f(x_{0}))}=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)+f(x_{0}))}=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{(ff)(x)-(ff)(x_{0})}{x-x_{0}}}=(ff)' </math> | ||
Durch die Einführung über den Spezialfall wird die Problematik der Ausnutzung der Stetigkeit auf eine einzelne Stelle isoliert und ist somit einfacher verständlich. Der allgemeine Fall der Produktregel wird schließlich über eine weitere, den Schülern bereits vorher bekannte Gleichung <math> ab=\frac{1}{4}((a+b)^{2}-(a-b)^{2}) </math>, möglich. | Durch die Einführung über den Spezialfall wird die Problematik der Ausnutzung der Stetigkeit auf eine einzelne Stelle isoliert und ist somit einfacher verständlich. Der allgemeine Fall der Produktregel wird schließlich über eine weitere, den Schülern bereits vorher bekannte Gleichung <math> ab=\frac{1}{4}((a+b)^{2}-(a-b)^{2}) </math>, möglich. | ||