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Baustelle:Unendliche Objekte: Unterschied zwischen den Versionen
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Sei <math>P(t)=( | Sei <math>P(t)=(x·t,y·t,1)<sup>T</sup></math> ein Vektor, der mittels der Dehomogenisierung[[Datei:Abbildung.png]] dem Punkt <math>(x·t,y·t)<sup>T</sup></math> der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der [[projektiven Geometrie]] skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt <math>[P(t)]=[(xt,yt,1)<sup>T</sup>=(x,y,1/t)<sup>T</sup>]</math>. Der Grenzwert t→∞ entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt P(t) bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene <math>z=1</math> immer weiter vom Ursprung weg. | ||
In Darstellung der [[homogenen Koordinaten]] gilt[[Datei:Abbildung2.png]]. Also repräsentieren alle Vektor der Form <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math> unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert. | In Darstellung der [[homogenen Koordinaten]] gilt[[Datei:Abbildung2.png]]. Also repräsentieren alle Vektor der Form <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math> unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert. | ||
Version vom 5. Februar 2015, 14:36 Uhr
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In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die unendlichen Objekte Fernpunkte und Ferngeraden eine große Rolle. [1]
Fernpunkte
Fernpunkte sind Vektoren der Form , die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.
Herleitung
Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(t)=(x·t,y·t,1)<sup>T</sup>}
ein Vektor, der mittels der Dehomogenisierung
dem Punkt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (x·t,y·t)<sup>T</sup>}
der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der projektiven Geometrie skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt . Der Grenzwert t→∞ entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt P(t) bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene immer weiter vom Ursprung weg.
![{\displaystyle [P(t)]=[(xt,yt,1)<sup>T</sup>=(x,y,1/t)<sup>T</sup>]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3cad9ebea2d6943e08c818ea654cce10ab6628)
In Darstellung der homogenen Koordinaten gilt
. Also repräsentieren alle Vektor der Form unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.
Ferngeraden
Alle Fernpunkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup>} .
Erklärung
Auf jeder Geraden mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (a,b)≠(0,0)} liegt ein Fernpunkt , denn es gilt für x=-b und y=a. Dieser Fernpunkt ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die Ferngerade Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup>} gilt für jeden Fernpunkt P': Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle <P',l<sub>∞</sub>>=0} , also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup>} .
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