Funktion: kulturhistorische Aspekte

Übersicht .

Der mit „Funktion“ bezeichnete Begriff nimmt in der Mathematik die zentrale Stellung eines nicht mehr weg zu denkenden Grundbegriffs ein. Erstaunlicherweise trifft man derzeit auf unterschiedliche und kaum vereinbare Sprech- bzw. Schreibweisen wie z. B.:

„die Funktion $y=f(x)$”, „die Funktion $f(x)$“, „die Funktion $f$“, „die Funktion $y=y(x)$“, „die Funktion $x\mapsto f(x)$“,

weiterhin z. B.: „der Weg ist eine Funktion der Zeit“ – es wird eine Parabel als „quadratische Funktion“ bezeichnet – es wird eine Wertetabelle als „Funktion“ bezeichnet – ...

Strengen formalen Ansprüchen hält nur die Formulierung „die Funktion $f$“ stand, mit Abstrichen auch noch „die Funktion $x\mapsto f(x)$“. Somit scheint es kein einheitliches Begriffsverständnis dessen zu geben, was eine „Funktion“ ist. Dieser Verdacht wird genährt, wenn man berücksichtigt, dass z. B. (auch in der Mathematik) in zunehmendem Maße (wieder!) von „Funktionen mit mehreren Veränderlichen“ gesprochen wird (etwa bei Titeln von Lehrbüchern oder von Vorlesungen) – und dabei hat eine Funktion in strenger Begriffsauffassung (als rechtseindeutige Relation) gar keine Veränderlichen (korrekt wäre hier: „einstellige“ bzw. „mehrstellige“ Funktionen). Diese Sprechweise weist aber darauf hin, dass solche Autoren neuerdings Funktionen wieder als Terme auffassen, also der Sprechweise „die Funktion $f(x)$“ zuneigen – wie es bis etwa zur Mitte des 20. Jahrhunderts üblich war. Spürt man dem in Gesprächen mit Mathematikern nach, so wird diese Vermutung insofern bestätigt, als dass das, was für sie eine Funktion ist, von dem Kontext abhängt, in dem sie forschend tätig sind:
Beispielsweise sind für viele Numeriker (kontextbezogen nachvollziehbar) „Funktion“ und „Tabelle“ Synonyme, oder sie identifizieren (ebenfalls kontextbezogen nachvollziehbar) „Funktion“ mit „Term“. Und man findet (z. B. in der Analysis) die Auffassung, Funktionen seien spezielle Abbildungen, und zwar von ${{\mathbb {R} }^{n}}$ in $\mathbb {R}$. „Abbildung“ ist dann lediglich eine „eindeutige Zuordnung“ im Sinne eines undefinierten und unmittelbar einleuchtenden Grundbegriffs, womit dann „Funktion“ und „Abbildung“ – im Gegensatz zur mengentheoretisch begründeten Auffassung – z. T. nicht identifiziert werden. Für Zahlentheoretiker sind Funktionen oft nur Abbildungen von $\mathbb {Z}$ in $\mathbb {R}$ oder in $\mathbb {C}$, weil sie im Wesentlichen nur solche Funktionen untersuchen. Und die Bezeichnung „Funktionentheorie“ ist mitnichten eine „Theorie der Funktionen“ im Sinne der Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger Relation“. Vielmehr verweist diese Bezeichnung auf ein historisches (und überkommenes?) Verständnis von „Funktion“.
Physiker nennen z. B. die Gleichung $s=s(t)$ eine „Weg-Zeit-Funktion“, obwohl hier die Variable $s$ in zwei formal unterschiedlichen und unvereinbaren Rollen auftritt. Andererseits kommt in dieser Formulierung eine sehr schöne und inhaltlich sehr reichhaltige Auffassung zum Ausdruck, die in einer formal einwandfreien (und dann leider auch aufgeblähten) Darstellung verloren gehen würde. Physiker werden es sich auch nicht nehmen lassen, $\Psi (x,t)$ als „Wellenfunktion“ zu bezeichnen, und sie werden beispielsweise die für sie schöne Formulierung $U=U(t)$ verwenden, um damit auszudrücken, dass die „Spannung eine Funktion der Zeit“ sei. Zusammengefasst: Im physikalischen Kontext ist eine solche Sichtweise von „Funktion“ nicht nur nachvollziehbar, sondern gewiss auch sinnvoll und situationsadäquat, im rein mathematischen Kontext ist sie aber kaum tragbar – und beide Standpunkte haben ihre Berechtigung. Ein Paradoxon?
So scheint es in der Mathematik, diesem Prototyp der exakten Wissenschaften, keine einheitliche Auffassung dessen zu geben, was eine Funktion ist. Das lässt sich sowohl durch individuelle Umfragen als auch durch einen Blick in die aktuelle Lehrbuchliteratur belegen. Und dennoch bezeichnet „Funktion“ einen wesentlichen Grundbegriff der Mathematik, der in nahezu allen Teilgebieten und auch in den Anwendungen der Mathematik vorkommt, und zwar gerade wegen dieser Uneinheitlichkeit! Genauer:
Der mit „Funktion“ bezeichnete Begriff weist u. a. wegen der hier skizzierten Vagheit eine große Reichhaltigkeit auf, wie es für fundamentale Ideen der Mathematik typisch ist. Zugleich weisen die oben angedeuteten Formulierungen, die einen unterschiedlichen Gebrauch des Wortes „Funktion“ aufzeigen, auf einen gemeinsamen Kern von Eigenschaften hin, die den mit „Funktion“ bezeichneten mathematischen Begriff ausmachen, was wie folgt beschreibbar ist:

• Funktionen haben viele Gesichter, in denen sie uns begegnen.

Zur kulturhistorischen Begriffsgenese

Problematisierung

Wo liegen die kulturhistorischen Wurzeln des mathematischen Funktionsbegriffs, und wie hat dieser sich Laufe der Geschichte der Mathematik entwickelt? Dieser Aspekt ist auch für die ontogenetische Entwicklung eines Begriffs im Individuum bedeutsam. Dabei geht es nicht darum, wann und unter welchen Bedingungen das Wort „Funktion” in der Mathematik auftauchte (was schnell auf Leibniz und Jakob I Bernoulli führen würde, jedoch nicht weiterhilft). Vielmehr geht es um die mit dem Funktionsbegriff intendierten Inhalte, denn es ist zwischen dem Begriffsnamen und dem Begriffsinhalt zu unterscheiden! Solche Inhalte ergeben sich anhand der oben angedeuteten

• Erscheinungsformen von Funktionen in Gestalt „vieler Gesichter“, z. B.:

• eindeutige Zuordnung

• Abhängigkeit einer Größe (als einer „abhängigen Variablen“) von einer anderen (als einer „unabhängigen Variablen“), speziell auch zeitabhängige Größen

• (Werte-)Tabelle, insbesondere auch empirische Wertetabelle

• Kurve, Graph, Datendiagramm, Funktionsplot

• Formel

• ...?

Legt man diese (offen gehaltene) Liste zugrunde, so begegnet uns der Funktionsbegriff bereits in einigen numerischen Tabellen bei den Babyloniern im 19. Jh. v. Chr., und es ergibt sich folgende grobe Zeittafel:

Zeittafel

• Stationen der kulturhistorischen Entwicklung des Funktionsbegriffs

19. Jh. v. Chr.	• Babylonier: Tabellierung von Funktionen
ab 5. Jh. v. Chr.	• griechische Antike: kinematisch erzeugte Kurven
ca. 950 v. Chr.	• Klosterschule: erste dokumentierte zeitachsenorientierte Funktion
Anfang des 11. Jhs.	• Guido von Arezzo: Erfindung der Notenschrift – eine weitere zeitachsenorientierte Funktion
14. Jh.	• Mittelalter, insbesondere Nicole d'Oresme: graphische Darstellung zeitabhängiger Größen
17. Jh.	• Isaac Newton: Fluxionen, Fluenten • Gottfried Wilhelm Leibniz, Jakob I Bernoulli: erstmalig das Wort „Funktion“ • Johann I Bernoulli: „Ordinaten“
18. Jh.	• Johann I Bernoulli, Leonhard Euler: Funktion „als analytischer Ausdruck“, d. h.: als „Term“ • Leonhard Euler: Funktion als „freihändig gezeichnete Kurve“ • Johann Heinrich Lambert und andere: graphische Darstellung empirischer gewonnener Daten durch Funktionsgraph („Kurve“) • William Playfaire: „Lineare Arithmetik“ zur Darstellung empirischer Daten durch Balkendiagramme und Kreisdiagramme
19. Jh.	• Joseph Fourier, Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Richard Dedekind: Funktion (Abbildung) als eindeutige Zuordnung (wesentlich: sie ist nicht mehr notwendig termdefiniert!) • Paul Du Bois-Reymond: Funktion als Tabelle • Guiseppe Peano, Charles Sanders Peirce, Ernst Schröder: Relation als Menge geordneter Paare
Anfang des 20. Jhs.	• Felix Hausdorff (1914): Funktion als spezielle Relation
seit Ende des 20. Jhs.	• ... die große Vielfalt ??? • ... viele „Gesichter“ von Funktionen ???

Erörterung

Während im 18. Jh. für Euler Funktionen noch entweder „analytische Ausdrücke“ (also „Terme“ im heutigen Verständnis) oder „freihändig gezeichnete Kurven“ waren, begegnen uns darüber hinaus Funktionen im selben Jahrhundert (aus unserer heutigen Sicht) auch als graphisch oder tabellarisch dargestellte empirische Zusammenhänge. Das führte im 19. Jh. über empirische Untersuchungen zunächst von Fourier und dann von seinem Schüler Dirichlet zu einem „termfreien“ Funktionsbegriff, bei dem die Funktionswerte keinem Bildungsgesetz mehr folgen (müssen). Der Grundlagenforscher und Mathematikhistoriker Ulrich Felgner schreibt hierzu:

Funktionen sind [...] bei Fourier und Dirichlet dem Begriffe nach eindeutige Zuordnungen. Im Begriff der Funktion ist die Definierbarkeit durch einen analytischen Ausdruck nicht eingeschlossen. Dieser Funktionsbegriff wird oft nur mit dem Namen Dirichlets in Verbindung gebracht, obwohl doch Fourier der eigentliche Urheber ist.

[...] Funktionen im Sinne von Fourier und Dirichlet müssen weder differenzierbar noch stetig sein.

Mit dem „analytischen Ausdruck“ ist hier ein arithmetischer Term gemeint. Es ist zu beachten, dass damit bei Fourier und Dirichlet Funktionen erstmals nicht mehr (wie zuvor noch bei Euler) einem „Bildungsgesetz“ gehorchen müssen, weil sie nicht mehr termdefinierbar sein müssen (was für empirische Funktionen der „Normalfall“ ist).

Auch Richard Dedekind fasst Funktionen als eindeutige Zuordnungen auf, verwendet aber die Bezeichnung „Abbildung“, wobei er noch von einem „Gesetz“ spricht.
Paul Du Bois-Reymond erfasst den Aspekt der eindeutigen Zuordnung durch die Auffassung von „Funktion als Tabelle“ (wie bei den Babyloniern), was Felgner wie folgt kommentiert:

Auch diese Beschreibung des Funktionsbegriffes ist recht allgemein. Eine Gesetzmäßigkeit muss einer Tabelle nicht unbedingt zugrunde liegen. In die Spalte der Funktionswerte kann man ja nach Belieben Werte hineinschreiben.

Daran anschließend versuchen Peirce, Schröder und Peano erstmalig, Funktionen als Relationen und Relationen als Mengen geordneter Paare zu beschreiben, wobei sie „geordnetes Paar“ noch undefiniert verwenden.
Felix Hausdorff definiert 1914 erstmals „geordnetes Paar“ auf mengentheoretischer Grundlage (wenn auch noch nicht so elegant wie 1921 Kazimierz Kuratowski) und darauf aufbauend „Funktion“ als das, was wir heute „binäre, rechtseindeutige Relation“ nennen: Damit wurde erstmalig der moderne Funktionsbegriff in mengentheoretischer Auffassung formal sauber definiert, basierend auf den Vorarbeiten vor allem der Mathematiker des 19. Jahrhunderts – wobei die vorherige Betrachtung und Einbeziehung empirischer Funktionen die Abkehr von der Forderung nach einem „Bildungsgesetz“ geradezu erzwungen hatte.
Diese Fassung des Funktionsbegriffs auf mengentheoretischer Grundlage entsprach den Bemühungen der Mathematik des 20. Jhs., das mathematische „Gebäude“ auf wenigen Fundamenten aufzubauen, um damit die Argumentationsbasis klein zu halten:

Aktuell: Die große Vielfalt — viele „Gesichter“ von Funktionen

Der 4000 Jahre lange Weg der kulturgeschichtlichen Entwicklung des Funktionsbegriffs von babylonischen Keilschrifttafeln bis hin zur mengentheoretischen Auffassung von „Funktion als rechtseindeutige Relation“ startete ruhig und fast unmerklich, nahm mit Beginn der Neuzeit an Fahrt auf und explodierte dann geradezu seit der Mitte des 19. Jahrhunderts. Das Ergebnis in seiner nahezu vollendeten Form durch Hausdorff und die Etablierung durch die Bourbaki-Gruppe muss als wissenschaftliche Glanzleistung der Mathematik angesehen werden:

Doch was ist von dieser begrifflichen Ausschärfung übrig geblieben, wenn man sich [...] den tatsächlich heute praktizierten Umgang in der Mathematik und ihren Anwendungen mit dem vor Augen führt, was dort jeweils „Funktion“ genannt wird? Braucht „man“ angesichts der „vielen Gesichter“, unter denen uns Funktionen nun begegnen, den erreichten formalen „begrifflichen“ Höhenflug vielleicht in aller Regel gar nicht, weil – gerade bei „Anwendern“ – ganz andere Fragen „interessant“ sind oder geworden sind?

Und weiter: Braucht man vielleicht auch „Mengenlehre“ und „Logik“ gar nicht mehr (wie ehedem?) so sehr in der Mathematik – so möchte man fragen angesichts der Tatsache, dass entsprechende Vorlesungen kaum mehr angeboten werden, und wenn, dann eher in der Informatik oder in der Philosophie. Ist vielleicht vieles, was ursprünglich (z. B. mit Cantor, Frege und Russell usw.) in die Mathematik gehörte, nunmehr in die Informatik abgewandert – eine Disziplin, die u. a. deshalb in den 1960er Jahren entstanden ist, weil die Mathematiker sich damals mehrheitlich nicht für die aufkommenden Fragestellungen interessierten oder interessieren wollten? So ist ja die Informatik als neue Disziplin u. a. von Mathematikern begründet worden, die in der Mathematik nicht mehr die Heimat fanden, die sie suchten.

Wie auch immer: Wir müssen zur Kenntnis nehmen, dass sich in der derzeit vorliegenden und praktizierten Vielfalt des Verständnisses von „Funktion“ die kulturhistorische Aspektvielfalt der Begriffsentwicklung widerspiegelt: Jeder bzw. jede – egal ob Mathematiker(in) oder Anwender(in) – sucht sich den Aspekt heraus, der ihm oder ihr kontextbezogen am besten passt, um dann tatsächlich damit erfolgreich arbeiten zu können! Und möglicherweise sollten wir das nicht bedauern, sondern eher den großen Reichtum wertschätzen, mit dem sich uns der mit „Funktion“ bezeichnete Begriff durch seine vielen Gesichter als fundamentale Idee zeigt!

Wenn es jedoch um Grundlagenfragen geht, haben wir – basierend auf dem erarbeiteten Instrumentarium aus Mengenlehre und Logik – eine einwandfreie und äußerst leistungsfähige formale Fassung des Funktionsbegriffs zur Verfügung, die für eine saubere und präzise Kennzeichnung mathematischer Strukturen unerlässlich ist: Relation als mengentheoretisch definierter grundlegender strukturierender „Baustein“, worauf sich spezielle Relationen gründen, nämlich: Funktion, Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation. Und damit liegt ein Werkzeugkasten vor, mit dem man jegliche mathematische Strukturen beschreiben und untersuchen bzw. außermathematische Situationen strukturierend modellieren kann.

Die Vielfalt dieser „Gesichter von Funktionen“ wird durch ausgewählte Beispiele verdeutlicht.

Literatur

• Felgner, Ulrich [2002]: Der Begriff der Funktion. In: Felix Hausdorff – Gesammelte Werke Band II, Grundzüge der Mengenlehre. New York / Berlin / Heidelberg: Springer, S. 621–633.
• Herget, Wilfried & Malitte, Elvira & Richter, Karin [2000]: Funktionen haben viele Gesichter – auch im Unterricht! In: Flade, Lothar & Herget, Wilfried (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS – Anregungen für die Sekundarschulen. Berlin: Verlag Volk und Wissen, 2000, 115–124.
• Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Horst Hischer (2013): Funktion: kulturhistorische Aspekte. Version vom 26.08.2013. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Funktion:_kulturhistorische_Aspekte&oldid=12317.