Relation

Übersicht

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „Zuordnung“) verwendet. Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen, etwa $A$ und $B$ genannt) zu beschreiben, also darum, ob und wie $a$ zu $b$ „in Beziehung steht“, falls $a\in A$ und $b\in B$ gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie ${{a}^{2}}=2b-1$ oder eine Ungleichung wie $3a<2{\sqrt {b}}$ beschrieben werden.
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit $R$ bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare $(a,b)$ aus der „Produktmenge“ $A\times B$ gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge $A\times B$ als eine „Relation zwischen $A$ und $B$“ – oder genauer: als eine „Relation von $A$ nach $B$“ – aufzufassen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber unverändert bleibt, wenn man in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\times B} anstelle von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\times B} als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen – und vor allem situativ zu beachten und unterscheiden!

Definitionen

Grundlegende Definitionen

Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b)} bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ dieses Paares ankommt (im Gegensatz zur mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{a,b\}} bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b)} als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch elegant zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

Definitionen	Anmerkungen
Voraussetzung: Es seien   Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A,B,R}   Mengen und   Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\{1\}} (  also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n>1} ).
Für beliebige Objekte   Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b}   gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b)}   heißt „geordnetes Paar“. Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b}   gilt. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b)}   lässt sich rekursiv zum geordneten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Tupel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})} verallgemeinern. Spezielle Namen sind für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=3} „Tripel“ und für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=4} „Quadrupel“.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\times B:=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\times B}   heißt „Produktmenge“ oder „kartesisches Produkt“ (von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} ). Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\times B}   lässt sich rekursiv zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}} verallgemeinern.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R}   ist genau dann eine Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -stellige Relation, wenn   Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R}   aus geordneten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Tupeln besteht.	2-stellige Relationen heißen auch „binäre Relationen“, sie bestehen aus geordneten Paaren.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R}   ist genau dann eine Relation von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} , wenn   Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R\,\subseteq \,A\,\times \,B}   gilt.	Die geometrische Beziehung „Punkt liegt auf Gerade“ ist eine Relation von einer Punktmenge nach einer Geradenmenge.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R}   ist genau dann eine Relation in $A$, wenn   $R\,\subseteq \,A\,\times \,A$   gilt.	Die „Größer-als-Beziehung“ ist eine Relation in einer Menge von Zahlen.

Für binäre Relationen wird folgende Schreibweise vereinbart:: $xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R$

Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen

Definitionen	Anmerkungen
Voraussetzung: $M,R$   seien Mengen,   $R\neq \varnothing$   und   $R\subseteq M\times M$.	Die nachfolgenden Erläuterungen deuten   $xRy$   als einen „Pfeil von   $x$   nach   $y$ “.
$R$   ist symmetrisch $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y:$   wenn   $xRy$,   dann   $yRx$.	Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen: also keine Einbahnstraßen (ungerichteter Graph).
$R$   ist asymmetrisch $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y:$   wenn   $xRy$,   dann   nicht   $yRx$.	Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung: nirgends Schleifen, also höchstens Einbahnstraßen (gerichteter Graph).
$R$   ist identitiv $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y:$   wenn   $xRy$   und   $yRx$,   dann   $x=y$.	Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung: Schleifen möglich.
$R$   ist transitiv $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y,z:$   wenn   $xRy$   und   $yRz$,   dann   $xRz$.	Wenn eine mittelbare Verbindung, dann auch eine unmittelbare (also direkte und damit kürzeste): Existenz von Überbrückungspfeilen.
$R$   ist reflexiv in $M$ $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x\in M:$   $xRx$.	Überall Schleifen.
$R$   ist irreflexiv in $M$ $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x\in M:$   nicht   $xRx$.	Nirgends Schleifen.
$R$   ist konnex in $M$ $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y\in M:$   $xRy$   oder   $yRx$.	Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung: überall Schleifen.

• Zur Beachtung: Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz „in $M$“, was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
• Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
• Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Halbordnungsrelation, wenn sie reflexiv, identitiv und transitiv ist.
• Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Totalordnungsrelation, wenn sie identitiv, transitiv und konnex ist.
• Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Striktordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist.

Literatur

• Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Horst Hischer (2018): Relation. Version vom 2.04.2018. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Relation&oldid=29797.