Baustelle:Unendliche Objekte: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 5. Februar 2015, 15:45 Uhr

In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den $\mathbb {R}$ ³ zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die unendlichen Objekte Fernpunkte und Ferngeraden eine große Rolle. ^[1]

Fernpunkte

Fernpunkte sind Vektoren der Form $(x,y,0)$ ^T, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.

Herleitung

Sei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle P(t)=(x·t,y·t,1)} ^T ein Vektor, der mittels der Dehomogenisierung dem Punkt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (x·t,y·t)} ^T der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der projektiven Geometrie skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle [P(t)]=[(x·t,y·t,1)} ^T $=(x,y,1/t)$ ^T]. Der Grenzwert Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle t→∞} entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt $P(t)$ bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene $z=1$ immer weiter vom Ursprung weg.

In Darstellung der homogenen Koordinaten gilt. Also repräsentieren alle Vektor der Form $(x,y,0)$ ^T unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.

Ferngeraden

Alle Fernpunkte $(x,y,0)$ ^T liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden $l$ _∞ $=(0,0,1)$ ^T.

Erklärung

Auf jeder Geraden $g=(a,b,c)$ ^T mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (a,b)≠(0,0)} liegt ein Fernpunkt $(x,y,0)$ ^T, denn es gilt $<P,g>=0$ für $x=-b$ und $y=a$ . Dieser Fernpunkt $P=(-b,a,0)$ ^T ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die Ferngerade $l$ _∞ $=(0,0,1)$ ^T gilt für jeden Fernpunkt $<P,$ l_∞ $>=0$ , also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden $l$ _∞.

↑ Orendt, Thorsten; Richter-Gebert, Jürgen (2009): Geometriekalküle. Berlin, Heidelberg: Springer. Seite 2-6.

[literatur1-1] Orendt, Thorsten; Richter-Gebert, Jürgen (2009): Geometriekalküle. Berlin, Heidelberg: Springer. Seite 2-6.

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-In der [[projektiven Geometrie]] werden [[homogene Koordinaten]] genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den <math>\mathbb{R}<sup>3</sup></math> zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die [[unendlichen Objekte]] '''Fernpunkte''' und '''Ferngeraden''' eine große Rolle.
+In der [[projektiven Geometrie]] werden [[homogene Koordinaten]] genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den <math>\mathbb{R}</math><sup>3</sup> zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die [[unendlichen Objekte]] '''Fernpunkte''' und '''Ferngeraden''' eine große Rolle.
-<ref name="literatur1">Literaturangaben werden über "ref" referenziert. Diese tauchen dann automatisch unter Literatur durch das "references"-tag auf. Weitere Informationen finden Sie unter [[Hilfe:Literaturangaben]]</ref>
+<ref name="literatur1">Orendt, Thorsten; Richter-Gebert, Jürgen (2009): ''Geometriekalküle''. Berlin, Heidelberg: Springer. Seite 2-6. </ref>
 == Fernpunkte ==
-Fernpunkte sind Vektoren der Form <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math>, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.
+Fernpunkte sind Vektoren der Form <math>(x,y,0)</math><sup>T</sup>, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.
 === Herleitung ===
-Sei <math>P(t)=(xt,yt,1)<sup>T</sup></math> ein Vektor, der mittels der Dehomogenisierung[[Datei:Abbildung.png]] dem Punkt <math>(xt,yt)<sup>T</sup></math> der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der [[projektiven Geometrie]] skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt <math>[P(t)]=[(xt,yt,1)<sup>T</sup>=(x,y,1/t)<sup>T</sup>]</math>. Der Grenzwert t→∞ entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt P(t) bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene <math>z=1</math> immer weiter vom Ursprung weg.
+Sei <math>P(t)=(x·t,y·t,1)</math><sup>T</sup> ein Vektor, der mittels der [[Dehomogenisierung]] [[Datei:Abbildung.png]] dem Punkt <math>(x·t,y·t)</math><sup>T</sup> der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der [[projektiven Geometrie]] skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt <math>[P(t)]=[(x·t,y·t,1)</math><sup>T</sup><math>=(x,y,1/t)</math><sup>T</sup>]. Der Grenzwert <math>t→∞</math> entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt <math>P(t)</math> bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene <math>z=1</math> immer weiter vom Ursprung weg.
-In Darstellung der [[homogenen Koordinaten]] gilt[[Datei:Abbildung2.png]]. Also repräsentieren alle Vektor der Form <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math> unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.
+In Darstellung der [[homogenen Koordinaten]] gilt[[Datei:Abbildung2.png]]. Also repräsentieren alle Vektor der Form <math>(x,y,0)</math><sup>T</sup> unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.
 == Ferngeraden ==
-Alle Fernpunkte <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math> liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden <math>l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup></math>.
+Alle Fernpunkte <math>(x,y,0)</math><sup>T</sup> liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden <math>l</math><sub>∞</sub><math>=(0,0,1)</math><sup>T</sup>.
 === Erklärung ===
-Auf jeder Geraden <math>g=(a,b,c)<sup>T</sup></math> mit <math>(a,b)≠(0,0)</math> liegt ein Fernpunkt <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math>, denn es gilt <math><P,g>=0</math> für x=-b und y=a. Dieser Fernpunkt <math>P=(-b,a,0)<sup>T</sup></math> ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die  Ferngerade <math>l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup></math> gilt für jeden Fernpunkt P': <math><P',l<sub>∞</sub>>=0</math>, also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden <math>l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup></math>.
+Auf jeder Geraden <math>g=(a,b,c)</math><sup>T</sup> mit <math>(a,b)≠(0,0)</math> liegt ein Fernpunkt <math>(x,y,0)</math><sup>T</sup>, denn es gilt
+<math><P,g>=0</math> für <math>x=-b</math> und <math>y=a</math>. Dieser Fernpunkt <math>P=(-b,a,0)</math><sup>T</sup> ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die  Ferngerade <math>l</math><sub>∞</sub><math>=(0,0,1)</math><sup>T</sup> gilt für jeden Fernpunkt <math><P,</math> l<sub>∞</sub><math>>=0</math>, also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden <math>l</math><sub>∞</sub>.

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