Baustelle:Unendliche Objekte

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In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den $\mathbb {R}$³ zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die unendlichen Objekte Fernpunkte und Ferngeraden eine große Rolle.

Fernpunkte

Fernpunkte sind Vektoren der Form $(x,y,0)^T$, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.

Herleitung

Sei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle P(t)=(x·t,y·t,1)^T} ein Vektor, der mittels der Dehomogenisierung dem Punkt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (x·t,y·t)^T} der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der projektiven Geometrie skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt $[P(t)]=[(xt,yt,1)^T=(x,y,1/t)^T]$. Der Grenzwert t→∞ entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt P(t) bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene $z=1$ immer weiter vom Ursprung weg.

In Darstellung der homogenen Koordinaten gilt. Also repräsentieren alle Vektor der Form $(x,y,0)^T$ unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.

Ferngeraden

Alle Fernpunkte $(x,y,0)^T$ liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l_∞=(0,0,1)^T} .

Erklärung

Auf jeder Geraden $g=(a,b,c)^T$ mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (a,b)≠(0,0)} liegt ein Fernpunkt $(x,y,0)^T$, denn es gilt $<P,g>=0$ für x=-b und y=a. Dieser Fernpunkt $P=(-b,a,0)^T$ ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die Ferngerade Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l_∞=(0,0,1)^T} gilt für jeden Fernpunkt P': Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle <P',l_∞>=0} , also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l_∞=(0,0,1)^T} .