Zum Verständnis des Kurvenbegriffs im Mathematikunterricht

Thomas Weth (1992): Zum Verständnis des Kurvenbegriffs im Mathematikunterricht. Dissertation, Julius-Maximilians-Universität Würzburg.
Betreut durch Hans Joachim Vollrath und Günter Sietmann.

Zusammenfassung

(zu Teilen aus der Einleitung)

Die Bedeutung des Kurvenbegriffs für den gymnasialen Mathematikunterricht wird in dieser Arbeit untersucht. Die Ergebnisse der Arbeit sollen als Hilfe bei künftigen curricularen Entscheidungen sowie als Beitrag zur didaktischen Diskussion um den Kurvenbegriff dienen. Besonderes Augenmerk wird hierbei auf moderne Möglichkeiten gerichtet, welche der Computereinsatz auf den Gebieten der Elementargeometrie und der symbolischen Algebra bzw. der Analysis bietet. Das Arbeiten mit Kurven in Computerprogrammen unterstützt die Entwicklung der Klein‘schen Idee der Fusion von Algebra und Geometrie im Unterricht. Im ersten Kapitel wird die Rolle des Kurvenbegriffs in der Mathematik dargestellt. Das zweite Kapitel stellt die Geschichte des Kurvenbegriffs im Unterricht seit Beginn des 20. Jahrhunderts dar. Dabei wird auf die Meraner Reform unter Felix Klein, die Reformbewegung der 1960er Jahre und den gegenwärtigen Mathematikunterricht eingegangen. Die Auswirkungen der Vernachlässigung des Kurvenbegriffs werden im dritten Kapitel untersucht. Im Rahmen einer empirischen Untersuchung werden Schülervorstellungen zum Kurvenbegriff erforscht. Von Interesse sind folgende Fragen:

- Welche Unterschiede sehen Schüler am Ende der Gymnasialzeit zwischen Kurven und Funktionsgraphen?

- Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich, aus Schülersicht, Kurven von allgemeinen Punktmengen?

- Werden die in der Schule behandelten Kurven als Objekte bestimmter mathematischer „Einzeldisziplinen“ betrachtet?

Die Untersuchungsergebnisse weisen darauf hin, dass die Nichtbeachtung des Kurvenbegriffs im Mathematikunterricht zu teilweise gravierenden Fehlvorstellungen führt.

Im vierten Kapitel findet sich eine Konzeption zum Lehren des Kurvenbegriffs, die die Untersuchungsergebnisse und curriculare Vorgaben berücksichtigt. Daraufhin wird im fünften Kapitel die Rolle von Kurven für die „Fusion“ von Algebra und Geometrie dargestellt. Außerdem wird gezeigt, wie elementargeometrische Aufgaben durch Anwendung algebraischer Methoden und anschließender ‚Rückübersetzung‘ in geometrische Überlegungen gelöst werden können. Das sechste Kapitel zeigt Im sechsten Kapitel werden zwei elementargeometrische Abbildungen vorgestellt, welche Ausgangspunkte zu entdeckendem Lernen bilden. Das siebte Kapitel liefert einen Vorschlag für einen Lehrgang „Differentialgeometrie in der Schule“, wobei auch auf potentielle Schwierigkeiten hingewiesen wird. Den Abschluss der Arbeit bildet in Kapitel 8 eine kritische Reflexion des Kurvenbegriffs. Stoffauswahl und Anordnung sowie unterschiedliche Kurvendefinitionen werden diskutiert.