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Kurvendiskussion mit CAS: Unterschied zwischen den Versionen

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Kurvendiskussion mit CAS (Quelltext anzeigen)

Version vom 1. Februar 2013, 17:02 Uhr

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→‎Aufgabenbeispiel 1: Die Milchtüteaus Danckwerts/Vogel:Analysis verständlich unterrichten, 1.Auflage 2006, Springer Verlag Berlin-Heidelberg
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(/* Aufgabenbeispiel 2: Skihänge Die folgenden Informationen und Screenshots der Aufgabe sind aus: Abitur 2013, Zentralabitur 2013 Sachsen, LK Gymnasien, 2012, 18. neu bearbeitete und ergänzte Auflage, S. 8–14, © 2012 by Stark Verlagsgesellsch…)
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==Aufgabenbeispiel 1: Die Milchtüte<ref>aus Danckwerts/Vogel:Analysis verständlich unterrichten, 1.Auflage 2006, Springer Verlag Berlin-Heidelberg</ref>==
==Aufgabenbeispiel 1: Die Milchtüte<ref>aus Danckwerts/Vogel:Analysis verständlich unterrichten, 1.Auflage 2006, Springer Verlag Berlin-Heidelberg</ref>==


Wir betrachten eine Milchtüte mit einem Volumen von 1 Liter aus einem beliebigen Supermarkt. Es interessiert uns, ob der Hersteller darauf geachtet hat, so wenig Pappe wie möglich für die Herstellung zu verwenden.  
Wir betrachten eine Milchtüte mit einem Volumen von 1 Liter aus einem beliebigen Supermarkt.[[Datei:Milch.jpg|thumb| Foto einer 1 L Milchtüte]]


[[Datei:Milch.jpg|thumb| Foto einer 1 L Milchtüte]]
Es interessiert uns, ob der Hersteller darauf geachtet hat, so wenig Pappe wie möglich für die Herstellung zu verwenden.  


Es handelt sich folglich um eine [[Optimierungsaufgabe]].  
Es handelt sich folglich um eine [[Optimierungsaufgabe]].  


Mögliches Vorgehen: Entleeren wir diese Milchtüte, trennen die Kleberänder und falten sie
Mögliches Vorgehen: Entleeren wir diese Milchtüte, trennen die Kleberänder und falten sie
auf, erhalten wir folgendes Faltnetz:  
auf, erhalten wir das folgende Faltnetz:  
 
[[Datei:Faltnetz.jpeg| thumb| Netz der Milchtüte]]
 
<br/>


[[Datei:Faltnetz.jpeg]]
[[Datei:3D Plot.png| thumb| 3D Plot mit Casio ClassPad 300]]
Wir entnehmen die Maße <math> a=7,1 cm </math> und <math> h=19,7 cm </math>. Damit ergibt sich ein Volumen von <math> 993 cm^3 </math>.Erkennt man <math> a </math> und <math> h </math> als variierbare Größen,kommt man auf die Funktion <math> M(a,h)=(h+2\cdot \frac{a}{2}+2\cdot 0,6)\cdot(4a+0,6) </math> für den Materialverbrauch.
An dieser Stelle kann man nun den CAS-Rechner bemühen und sich den 3-D Plot darstellen lassen.(Abbildung rechts)
Doch ist dies leider noch nicht zielführend, da der Graph in seiner Gesamtheit nicht von Interesse ist.


Wir entnehmen die Maße <math> a=7,1 cm </math> und <math> h=19,7 cm </math>. Damit ergibt sich ein Volumen von <math> 993 cm^3 </math>.
Erkennt man <math> a </math> und <math> h </math> als variierbare Größen, kommt man auf auf die Funktion für den Materialverbrauch: <math> M(a,h)=(h+2\cdot \frac{a}{2}+2\cdot 0,6)\cdot(4a+0,6)
</math>


An dieser Stelle kann man nun den CAS-Rechner bemühen und sich den 3-D Plot darstellen lassen.  
In diesem Zusammenhang wird klar, dass man die mit CAS-Rechnern gewonnenen Erkenntnisse stets kritisch zu hinterfragen hat.Es fehlt
[[Datei:3D Plot.png| thumb| 3D Plot mit Casio ClassPad 300]]
noch die Berücksichtigung der Nebenbedingung <math>{a^2}\cdot{h}=1000 Liter </math>.Unter Nutzung dieser Nebenbedingung eliminiert
man <math> h </math> in <math> M(a,h) </math> und erhält <math> M(a)=4a^2+5,4a+0,72+\frac{4000}{a}+\frac{600}{a^2}</math> mit <math> a>0 </math>.


Doch ist dies leider noch nicht zielführend, da der Graph in seiner Gesamtheit nicht von Interesse ist.
Von dieser Funktion suchen wir jetzt das Minimum. Dass es ein solches gibt, zeigt uns wiederum der Plotter des CAS. An dieser Stelle ist es aber empfehlenswert, die Funktionsgleichung <math> M(a) </math> qualitativ analytisch zu diskutieren. Man erkennt, dass für große und für kleine <math> a\ M(a) </math> groß wird, was bedeutet, dass das gesuchte Minimum irgendwo in der Mitte liegen muss. Jetzt wird man noch eine Monotoniebetrachtung durchführen und das Monotoniekriterium benutzen. Dies sichert die Existenz eines eindeutig bestimmten Minimums.
In diesem Zusammenhang wird klar, dass man die mit CAS-Rechnern gewonnenen
Erkenntnisse stets kritisch zu hinterfragen hat. Es fehlt noch die Berücksichtigung der Nebenbedingung <math>{a^2}\cdot{h}=1000 Liter </math>


Unter Nutzung dieser Nebenbedingung eliminiert man <math> h </math> in <math> M(a,h) </math> und erhält <math> M(a)=4a^2+5,4a+0,72+\frac{4000}{a}+\frac{600}{a^2} </math> mit <math> a>0 </math>.
Hier sei explizit darauf hingewiesen, dass <math> M(a) </math> eine Gleichung vierten Grades ist und von den Schülern nicht gelöst werden kann. Die Nutzung des CAS zur algebraischen Lösung ist aber auch nur bedingt geeignet, da die komplizierten algebraischen Wurzelterme erschrecken und sinnvoll interpretiert werden müssen. Es bietet sich die numerische Lösung des Rechners für das gesuchte Minumum an.  
Von dieser Funktion suchen wir jetzt das Minimum. Dass es ein solches gibt, zeigt uns wiederum der Plotter des CAS.
An dieser Stelle ist es aber empfehlenswert, die Funktionsgleichung <math>
M(a) </math> qualitativ analytisch zu diskutieren.
Man erkennt, dass für große und für kleine <math> a\ M(a) </math> groß wird, was bedeutet,
dass das gesuchte Minimum irgendwo in der Mitte liegen muss.
Jetzt wird man noch eine Monotoniebetrachtung durchführen und
das Monotoniekriterium benutzen. Dies sichert die Existenz eines eindeutig bestimmten Minimums.  


Hier sei explizit darauf hingewiesen, dass <math> M(a) </math> eine Gleichung vierten Grades ist und von den Schülern nicht gelöst werden kann.
Die Nutzung des CAS zur algebraischen Lösung ist aber auch nur bedingt geeignet, da die komplizierten algebraischen Wurzelterme
erschrecken und sinnvoll interpretiert werden müssen.
Es bietet sich die numerische Lösung des Rechners für das gesuchte Minumum an.
Das Ergebnis <math> a=7,8 cm </math> weicht stark vom realen Wert <math> a= 7,1 cm </math> ab. Dies kann nun weiterführend interpretiert werden.
Das Ergebnis <math> a=7,8 cm </math> weicht stark vom realen Wert <math> a= 7,1 cm </math> ab. Dies kann nun weiterführend interpretiert werden.
/math> und erhält
/math> und


==Aufgabenbeispiel 2: Skihänge<ref> Die folgenden Informationen und Screenshots der Aufgabe sind aus: Abitur 2013, Zentralabitur 2013 Sachsen, LK Gymnasien, 2012, 18. neu bearbeitete und ergänzte Auflage, S. 8–14, © 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbH & Co. KG.</ref>==
==Aufgabenbeispiel 2: Skihänge<ref> Die folgenden Informationen und Screenshots der Aufgabe sind aus: Abitur 2013, Zentralabitur 2013 Sachsen, LK Gymnasien, 2012, 18. neu bearbeitete und ergänzte Auflage, S. 8–14, © 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbH & Co. KG.</ref>==
Basti100
88

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