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Weg-Zeit-Diagramme: Unterschied zwischen den Versionen
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Weg-Zeit-Diagramme sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt. | Weg-Zeit-Diagramme sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt. | ||
Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abzissen-, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen. | Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abzissen-, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen. | ||
Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Differenzenquotienten <math>\frac{\Delta s}{\Delta t}</math> ermittelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht dem Differentialquotienten <math> lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}</math> bzw. der ersten Ableitung an der Stelle <math>t_0</math>. | |||
==Anwendung im Mathematikunterricht== | |||
Für den Mathematikunterricht kann man diese Form der Darstellung von Funktionen nutzen, um die Begriffe Ableitung, Differenzenquotient, Anstieg, usw. praxisnah zu erklären. Dabei kann eine Verbindung zum Physik-Unterricht und umgekehrt hergestellt werden. | |||
==Beispielaufgabe== | ==Beispielaufgabe== | ||
Ein Auto fahre mit konstanter Geschwindigkeit von A nach B. Dabei hat es folgende Wege nach folgenden Zeiten zurückgelegt: | |||
{| class="wikitable" border="1" | |||
|- | |||
! Weg in m | |||
! Zeit in s | |||
|- | |||
| 5 | |||
| 1 | |||
|- | |||
| 10 | |||
| 2 | |||
|- | |||
| 15 | |||
| 3 | |||
|- | |||
| 20 | |||
| 4 | |||
|} | |||
Zeichnet man diese Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm, so entsteht folgender Graph: | |||
[[Datei:Auto.jpg]] | |||
<math> s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]]. Der Anstieg der Funktion entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit und kann über das Steigungsdreieck (Differenzenquotient) ermittelt werden: | |||
<math>m={\frac{\Delta s}{\Delta t}}={\frac{20m-5m}{4s-1s}}=5 \frac{m}{s}=\overline v</math>. | |||
Damit hat man für die Bewegung des Autos eine Funktion gefunden: | |||
<math>s(t)=5\frac{m}{s} \cdot t</math> | |||
Die Momentangeschwindigkeit z.B. zum Zeitpunkt <math>t=2,5s</math> ermittelt man durch Bilden der Ableitung der Funktion <math>s(t)=5 \frac{m}{s} \cdot t</math> und Einsetzen von <math>t=2,5s</math>: | |||
<math>v(t)s'(t)=5\frac{m}{s}</math> | |||
Man erkennt, dass das Auto, egal zu welchem Zeitpunkt tatsächlich mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Es handelt sich um eine geradlinig gleichförmige Bewegung. | |||
<math>v(t=2,5s)=s'(t=2,5s)=5 \frac{m}{s}</math> | |||
Etwas eindrucksvoller ist die Betrachtung einer geradlinig beschleunigten Bewegung, etwa beim Anfahren eines Autos an einer Ampel: | |||
Eine Auto beschleunige mit <math>a=3\frac{m}{s^2}</math>. Folgende Messwerte wurden aufgenommen: | |||
{| class="wikitable" border="1" | |||
|- | |||
! Weg in m | |||
! Zeit in s | |||
|- | |||
| 1,5 | |||
| 1 | |||
|- | |||
| 6 | |||
| 2 | |||
|- | |||
| 13,5 | |||
| 3 | |||
|- | |||
| 24 | |||
| 4 | |||
|- | |||
| 37,5 | |||
| 5 | |||
|- | |||
| 54 | |||
| 6 | |||
|} | |||
Hier erhält man für das <math>s(t)</math>-Diagramm folgenden Graph: | |||
[[Datei: | [[Datei:Auto2.jpg]] | ||
Der entstandene Funktionsgraph ist eine Parabel 2. Grades. | |||
Auch hier kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit anhand des Differenzenquotienten ermitteln. | |||
<math> s(t)</math> | Die Funktion <math>s(t)=\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_0</math> beschreibt die Bewegung des Fahrzeugs. Da das Auto keine Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> hat und der Anfangsweg <math>s_0</math> ebenfalls 0 ist, verschwinden diese Terme aus der Ausgangsgleichung. | ||
<math> | Es interessiert die (Momentan-) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t=3,5s</math>. | ||
<math>s'(t)= | <math>v(t)=s'(t)=2\cdot \frac{a}{2} \cdot t=a \cdot t</math> | ||
<math>v(t=3,5s)=s'(t=3,5s)=3\frac{m}{s^2} \cdot 3,5s=10,5 \frac{m}{s} | |||