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Extremwertaufgaben: Unterschied zwischen den Versionen
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Änderung der Formeln in Tex-Schreibweise
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''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von 1l haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?'' | ''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von <math> 1l </math> haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?'' | ||
(Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so, oder so ähnlich in vielen Lehrbüchern wiederfindet.) | (Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so, oder so ähnlich in vielen Lehrbüchern wiederfindet.) | ||
1. Zu optimieren ist der Oberflächeninhalt A der Dose (eines Zylinders). | 1. Zu optimieren ist der Oberflächeninhalt <math> A </math> der Dose (eines Zylinders). | ||
<math> | <math> | ||
A = | A = 2\pi r^2 + 2\pi rh | ||
</math> | </math> | ||
Da r und h Strecken darstellen, sind r und h positive reelle Zahlen und größer als Null. | Da <math> r </math> und <math> h </math> Strecken darstellen, sind <math> r </math> und <math> h </math> positive reelle Zahlen und größer als Null. | ||
2. | 2. | ||
<math> | <math> | ||
A = | A = 2\pi (r)^2 + 2\pi (r)[h] | ||
</math> | </math> | ||
A hängt zunächst von den beiden Variablen r und h ab, folglich muss über die Nebenbedingung V = 1l = | <math> A </math> hängt zunächst von den beiden Variablen <math> r </math> und <math> h </math> ab, folglich muss über die Nebenbedingung <math> V = 1l = 1dm^3 = 1.000cm^3 </math> eine der beiden Variablen ersetzt werden (beispielsweise <math> h </math>). | ||
V = | <math> V = \pi r^2h </math> -> <math> h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi r^2} </math> (<math> h </math> bzw. <math> r </math> sind in <math> cm </math> anzugeben) | ||
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3. | 3. | ||
<math> | <math> | ||
A = | A = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r} | ||
</math> | </math> | ||
A´ = | <math> | ||
A´ = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} | |||
</math> | |||
0 = | <math> | ||
0 = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} | |||
</math> | |||
-> r ≈ 5,419cm | -> <math> r ≈ 5,419cm </math> | ||
A´´ = | <math> | ||
A´´ = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0 </math> für alle <math> r > 0 </math> -> lokales Minimum bei <math> r ≈ 5,419cm </math> | |||
4. Betrachtet man den Grenzwert für r gegen Null, bzw. für r gegen unendlich, so wird auch der Oberflächeninhalt A unendlich groß. Da es kein weiteres Minimum gibt, ist das oben berechnete lokale Minimum auch das globale Minimum dieser Funktion. | 4. Betrachtet man den Grenzwert für <math> r </math> gegen Null, bzw. für <math> r </math> gegen unendlich, so wird auch der Oberflächeninhalt <math> A </math> unendlich groß. Da es kein weiteres Minimum gibt, ist das oben berechnete lokale Minimum auch das globale Minimum dieser Funktion. | ||
5. r ist bereits unter 3. berechnet wurden. h ergibt sich aus V = | 5. <math> r </math> ist bereits unter 3. berechnet wurden. <math> h </math> ergibt sich aus <math> V = \pi r^2h </math> und beträgt rund <math> 10,839cm </math>. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen von einem Liter: <math> r ≈ 5,419cm </math> und <math> h ≈ 10,839cm </math>. | ||
==Kognitive Probleme von Schülerinnen und Schülern== | ==Kognitive Probleme von Schülerinnen und Schülern== | ||