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Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Quadratische Funktionen (Quelltext anzeigen)
Version vom 15. Januar 2013, 20:06 Uhr
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Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form <math> f(x)= ax²+bx+c </math>(mit <math> a ≠ 0 </math>) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem [[Scheitelpunkt]] <math> S(-(b/2a);(4ac-b²)/4a) </math>. Für <math> a= 0 </math> ergibt sich eine [[lineare Funktion]]. | Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form <math> f(x)= ax²+bx+c </math>(mit <math> a ≠ 0 </math>) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem [[Scheitelpunkt]] <math> S(-(b/2a);(4ac-b²)/4a) </math>. Für <math> a= 0 </math> ergibt sich eine [[lineare Funktion]]. | ||
== Einfluss der Parameter <math> a </math>, <math> b </math> und <math> c </math> == | == Einfluss der Parameter <math> a </math>, <math> b </math> und <math> c </math> == | ||
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==Spezialfälle quadratischer Funktionen== | ==Spezialfälle quadratischer Funktionen== | ||
===y=x²=== | ===<math> y=x² </math>=== | ||
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | Definitionsbereich: <math> - ∞ < x < + ∞ </math> | ||
Wertebereich: 0 ≤ y < + ∞ | Wertebereich:<math> 0 ≤ y < + ∞ </math> | ||
Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0) | Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt <math> S (0;0) </math> | ||
===y=ax²+c=== | ===<math> y=ax²+c </math>=== | ||
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | Definitionsbereich: <math> - ∞ < x < + ∞ </math> | ||
Wertebereich: | Wertebereich: | ||
- für a>0: c ≤ y < + ∞ | - für <math> a>0: c ≤ y < + ∞ </math> | ||
- für a<0: - ∞ < y ≤ c | - für <math> a<0: - ∞ < y ≤ c </math> | ||
Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c) | Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt <math> S (0;c) </math> | ||
===y=(x+d)²+e=== | ===<math> y=(x+d)²+e </math>=== | ||
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | Definitionsbereich: <math> - ∞ < x < + ∞ </math> | ||
Wertebereich: e ≤ y < + ∞ | Wertebereich: <math> e ≤ y < + ∞ </math> | ||
Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-d;e) | Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt <math> S(-d;e) </math> | ||
===Normalform=== | ===Normalform=== | ||
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞ | Definitionsbereich: <math> - ∞ < x < + ∞ </math> | ||
Wertebereich: ((-p²)/4)+q ≤ y < + ∞ | Wertebereich: <math> ((-p²)/4)+q ≤ y < + ∞ </math> | ||
Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p²)/4)+q) | Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt <math> S(-(p/2);(-(p²)/4)+q) </math> | ||
==Nullstellen einer quadratischen Funktion== | ==Nullstellen einer quadratischen Funktion== | ||
Für die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax²+bx+c aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax²+bx+c in die Normalform überführt: | Für die quadratische Funktion <math> f(x)=ax²+bx+c </math> beschreibt die Gleichung <math> 0=ax²+bx+c </math> aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form <math> 0=ax²+bx+c </math> in die Normalform überführt: | ||
0=x²+px+q mit p=b/a und q=c/a. | <math> 0=x²+px+q </math> mit <math> p=b/a </math> und <math> q=c/a </math>. | ||
Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet: | Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet: | ||
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x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>. | x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>. | ||
Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2)²-q wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat. | Der Term unter dem Wurzelzeichen <math> D=(p/2)²-q </math> wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat. | ||
Die Funktion f(x)=x²+px+q hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn D>0, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn D=0, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn D<0 ist. | Die Funktion <math> f(x)=x²+px+q </math> hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn <math> D>0 </math>, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn <math> D=0 </math>, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn <math> D<0 </math> ist. | ||
==Quadratische Funktionen - ein didaktischer Ansatz "Der Kinokrieg"<ref>Vgl. Altvater, Olaf; Woznik, Thomas (1998): Quadratische Funktionen selbständig entdecken. In: Mathematik in der Schule, 36(1998), H. 2. S. 80 - 92.</ref>== | ==Quadratische Funktionen - ein didaktischer Ansatz "Der Kinokrieg"<ref>Vgl. Altvater, Olaf; Woznik, Thomas (1998): Quadratische Funktionen selbständig entdecken. In: Mathematik in der Schule, 36(1998), H. 2. S. 80 - 92.</ref>== | ||
In vielen Schulbüchern beginnt der Einstieg in das Thema "Quadratische Funktionen" mit der Betrachtung der Normalparabel f(x)=x². Anschließend wird durch Verschiebung, Streckung bzw. Stauchung die allgemeine quadratische Funktion in Normal- und Scheitelpunktform hergeleitet. Im Folgendem wird ein anderer Einstieg in die Thematik vorgestellt. | In vielen Schulbüchern beginnt der Einstieg in das Thema "Quadratische Funktionen" mit der Betrachtung der Normalparabel <math> f(x)=x² </math>. Anschließend wird durch Verschiebung, Streckung bzw. Stauchung die allgemeine quadratische Funktion in Normal- und Scheitelpunktform hergeleitet. Im Folgendem wird ein anderer Einstieg in die Thematik vorgestellt. | ||
Im ersten Unterrichtsabschnitt soll die Erarbeitung der quadratischen Funktion anhand einer problemorientierten Anwendungsaufgabe erfolgen. Ferner nimmt der Lehrkörper eine passive Rolle im Unterrichtsgeschehen ein. Die Aufgabe "Der Kinokrieg" wird dafür gerne benutzt. Diese könnte so oder ähnlich lauten: | Im ersten Unterrichtsabschnitt soll die Erarbeitung der quadratischen Funktion anhand einer problemorientierten Anwendungsaufgabe erfolgen. Ferner nimmt der Lehrkörper eine passive Rolle im Unterrichtsgeschehen ein. Die Aufgabe "Der Kinokrieg" wird dafür gerne benutzt. Diese könnte so oder ähnlich lauten: | ||
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Durch Ausprobieren (grafisch, rechnerisch) seitens der Schülerinnen und Schüler (SuS) und hilfreichen Fragestellungen des Lehrkörpers können sich die SuS ein Bild von der Aufgabe machen. Die angegebenen Werte sind jedoch so gewählt, dass die SuS mit Hilfe einer Zeichnung nicht zum Ergebnis gelangen, wodurch das Aufstellen einer quadratischen Funktion unumgänglich ist. Um eine bessere Übersicht über den funktionalen Zusammenhang zwischen Preiserhöhung und Gewinneinbringung zu erhalten, ist es angebracht, eine Tabelle anzulegen. Letztere bietet auch gleich die Grundlage für eine Diskussion. Anhand dieses Beispiels sich schließlich die Frage nach dem Scheitelpunkt und dessen Bestimmung. | Durch Ausprobieren (grafisch, rechnerisch) seitens der Schülerinnen und Schüler (SuS) und hilfreichen Fragestellungen des Lehrkörpers können sich die SuS ein Bild von der Aufgabe machen. Die angegebenen Werte sind jedoch so gewählt, dass die SuS mit Hilfe einer Zeichnung nicht zum Ergebnis gelangen, wodurch das Aufstellen einer quadratischen Funktion unumgänglich ist. Um eine bessere Übersicht über den funktionalen Zusammenhang zwischen Preiserhöhung und Gewinneinbringung zu erhalten, ist es angebracht, eine Tabelle anzulegen. Letztere bietet auch gleich die Grundlage für eine Diskussion. Anhand dieses Beispiels sich schließlich die Frage nach dem Scheitelpunkt und dessen Bestimmung. | ||
Nachdem in einer kurzen Übung Scheitelpunkte verschiedener Funktionen bestimmt worden sind, wird nun der Zusammenhang zwischen Scheitelpunkt und den Parametern der quadratischen Funktion ermittelt. Hierbei ist es essentiell, den SuS so wenig Hilfe wie möglich zu geben. Eine denkanstoßende Vermutung seitens des Lehrkörpers wie man d berechnen könnte (d = a + b + c), wird anschließend gleich verworfen und bringt die SuS auf den richtigen Weg. Demnach ist es die Aufgabe der SuS herauszufinden, welche Parameter wie auf den Scheitelpunkt wirken. Was passiert, wenn a und b fest sind und nur c verändert wird etc. Auch hier wäre es wieder angebracht eine Tabelle anzulegen. | Nachdem in einer kurzen Übung Scheitelpunkte verschiedener Funktionen bestimmt worden sind, wird nun der Zusammenhang zwischen Scheitelpunkt und den Parametern der quadratischen Funktion ermittelt. Hierbei ist es essentiell, den SuS so wenig Hilfe wie möglich zu geben. Eine denkanstoßende Vermutung seitens des Lehrkörpers wie man <math> d </math> berechnen könnte (<math> d = a + b + c </math>), wird anschließend gleich verworfen und bringt die SuS auf den richtigen Weg. Demnach ist es die Aufgabe der SuS herauszufinden, welche Parameter wie auf den Scheitelpunkt wirken. Was passiert, wenn <math> a </math> und <math> b </math> fest sind und nur <math> c </math> verändert wird etc. Auch hier wäre es wieder angebracht eine Tabelle anzulegen. | ||
Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird mit den SuS nach einer Formulierung für die herausgearbeiteten Sätze gesucht und schriftlich festgehalten. | Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird mit den SuS nach einer Formulierung für die herausgearbeiteten Sätze gesucht und schriftlich festgehalten. | ||