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[[Datei:Zahlenbereich.png|200px|thumb|right|Übersicht Zahlenbereiche]] | [[Datei:Zahlenbereich.png|200px|thumb|right|Übersicht Zahlenbereiche]] | ||
Natürliche Zahlen:ℕ = {1, 2, 3,…}, ℕ0 = ℕ ∪ {0} | Natürliche Zahlen: ℕ = {1, 2, 3,…}, ℕ0 = ℕ ∪ {0} | ||
ℤ = {x | x ∈ ℕ0 v –x ∈ ℕ0} | ℤ = {x | x ∈ ℕ0 v –x ∈ ℕ0} | ||
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'''Natürliche Zahlen''' | '''Natürliche Zahlen''' | ||
Mit je zwei natürlichen Zahlen m und n sind auch die Summe m+n und das Produkt m·n wieder eine natürliche Zahl. Für Differenzen und Quotienten gilt das im Allgemeinen nicht. | Mit je zwei natürlichen Zahlen m und n sind auch die Summe m+n und das Produkt m·n wieder eine natürliche Zahl. Für Differenzen und Quotienten gilt das im Allgemeinen nicht. | ||
In den natürlichen Zahlen gelten folgende Rechengesetze: | |||
In den natürlichen Zahlen gelten folgende Rechengesetze mit m,n,k ∈ ℕ: | |||
Kommutativgesetz für Addition: m + n = n + m | Kommutativgesetz für Addition: m + n = n + m | ||
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Distributivgesetz: m • (n + k) = m • n + m • k | Distributivgesetz: m • (n + k) = m • n + m • k | ||
Außerdem gelten auch die Peano-Axiome: | Außerdem gelten auch die Peano-Axiome: | ||
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(P1) 1∈ ℕ | (P1) 1∈ ℕ | ||
(P2) Falls n∈ ℕ, dann gibt es einen Nachfolger n‘ in ℕ, n‘ = n+1 | (P2) Falls n∈ ℕ, dann gibt es einen Nachfolger n‘ in ℕ, n‘ = n+1. | ||
(P3) 1 ist kein Nachfolger | (P3) 1 ist kein Nachfolger. | ||
(P4) Falls n, m ∈ ℕ und n‘= m‘ dann folgt, dass n=m. | |||