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Funktionenplotter: Unterschied zwischen den Versionen
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Primärliteratur zum Artikel <sup>1</sup> | |||
==Übersicht== | ==Übersicht== | ||
Funktionenplotter sind zum Bereich der [[Neue Medien|Neuen Medien]] gehörende digitale Werkzeuge. Ein Funktionenplotter ist ein eigenständiges Programm oder ein Plugin, das auf dem Display eines Computers einen sog. '''Funktionsplot''' als ausschnittsweise Visualisierung des Funktionsgraphen einer reellen termdefinierbaren Funktion in einem Bildschirmfenster erzeugt. Ein Funktionenplotter kann nur dann aus einer termdefinierbaren Funktion einen Funktionsplot erzeugen, wenn ihr Funktionsterm mit Hilfe der auf diesem Funktionenplotter verfügbaren Standardfunktionen bildbar ist. Die Syntax zur Eingabe des Funktionsterms kann sich zwischen verschiedenen Funktionenplottern unterscheiden, es handelt sich jedoch in der Regel um für Computerprogramme übliche Befehle (z.Bsp. "sqrt" für Quadratwurzeln, "log" für den natürlichen Logarithmus und "exp" für Exponentialfunktionen). Häufig kann der Benutzer den angezeigten Wertebereich angeben und interaktiv verändern sowie die Achseneinteilung bestimmen. Einige Funktionenplotter erlauben das Zeichnen von Graphen unterschiedlicher Funktionen in einem Koordinatensystem und die Anzeige von mehreren Repräsentanten einer Funktionsschar. <br /> | Funktionenplotter sind zum Bereich der [[Neue Medien|Neuen Medien]] gehörende digitale Werkzeuge. Ein Funktionenplotter ist ein eigenständiges Programm oder ein Plugin, das auf dem Display eines Computers einen sog. '''Funktionsplot''' als ausschnittsweise Visualisierung des Funktionsgraphen einer reellen termdefinierbaren Funktion in einem Bildschirmfenster erzeugt. Ein Funktionenplotter kann nur dann aus einer termdefinierbaren Funktion einen Funktionsplot erzeugen, wenn ihr Funktionsterm mit Hilfe der auf diesem Funktionenplotter verfügbaren Standardfunktionen bildbar ist. Die Syntax zur Eingabe des Funktionsterms kann sich zwischen verschiedenen Funktionenplottern unterscheiden, es handelt sich jedoch in der Regel um für Computerprogramme übliche Befehle (z.Bsp. "sqrt" für Quadratwurzeln, "log" für den natürlichen Logarithmus und "exp" für Exponentialfunktionen). Häufig kann der Benutzer den angezeigten Wertebereich angeben und interaktiv verändern sowie die Achseneinteilung bestimmen. Einige Funktionenplotter erlauben das Zeichnen von Graphen unterschiedlicher Funktionen in einem Koordinatensystem und die Anzeige von mehreren Repräsentanten einer Funktionsschar. <br /> | ||
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==Funktionsplot als Simulation== | ==Funktionsplot als Simulation== | ||
Der von einem Funktionenplotter erzeugte Funktionsplot ist auf den ersten Blick eine | Der von einem Funktionenplotter erzeugte '''Funktionsplot''' ist auf den ersten Blick eine „''Visualisierung des Funktionsgraphen einer reellen termdefinierbaren Funktion in einem Bildschirmfenster''“ (s. o.). Bei näherer Betrachtung erweist er sich als ''Visualisierung einer rechnerintern erzeugten Wertetabelle'' einer gegebenen Funktion. Daraus folgt sogar, dass man bei reellen Funktionen zwischen „''Funktionsgraph''“ und „''Funktionsplot''“ unterscheiden muss, weil ein Funktionsplot nur als ''Simulation eines Funktionsgraphen einer reellen Funktion'' (kurz: Simulation einer reellen Funktion) anzusehen ist: <br /> | ||
Der Funktionsgraph einer gegebenen Funktion f ist die Menge aller geordneten Paare (x, f(x)), wobei x alle Werte aus der Definitionsmenge | Der '''Funktionsgraph''' einer gegebenen Funktion ''f'' ist die Menge aller geordneten Paare (''x'', ''f(x)''), wobei ''x'' alle Werte aus der Definitionsmenge D<sub>f</sub> annimmt. Der '''Funktionsplot''' ist hingegen die Menge aller der von einem '''Funktionenplotter''' erzeugten Pixel (die als geordnete Paare (''m'', ''n'') mit den „Koordinaten“ dieser Pixel aufzufassen sind). Damit sind aber „''Funktionsgraph einer Funktion''“ und „''Funktionsplot einer Funktion''“ im Allgemeinen streng zu unterscheiden, denn: | ||
* Jeder Funktionsplot besteht aus nur endlich vielen „Punkten“. | |||
* Ein Funktionsplot einer reellen Funktion ''f'' kann im Allgemeinen noch nicht einmal als „Teilmenge“ des (auf ein Teilintervall von Df eingeschränkten) Funktionsgraphen von ''f'' angesehen werden.<br /> | |||
Die erste Feststellung ist trivial, die zweite bedarf einer Erläuterung. Sie gründet sich auf die bei Funktionenplottern vorliegende zweifache Diskretisierung durch eine horizontale „Abtastung“ (auch „Sampling“ genannt) und eine vertikale „Quantisierung“, wie beides analog beim Scannen von Bildern und bei der digitalen Aufzeichnung akustischer Signale vorliegt: Sowohl horizontal als auch vertikal kommen nur endlich viele äquidistante Werte für die geordneten Paare (m, n) der Pixel in Frage (s. o.). Und selbst dann, wenn die „horizontalen“ Abtaststützstellen m bestimmten originalen Argumentstellen x maßstäblich entsprechen würden (was nicht eintreten muss), so werden die vertikalen „Abtastwerte“ (die sog. „Samples“) im Allgemeinen nur maßstäbliche Approximationen der jeweiligen Funktionswerte f(x) sein können. Bernard Winkelmann spricht daher von Simulation eines Funktionsgraphen durch einen Funktionenplotter, und zwar definiert er zuvor: | Die erste Feststellung ist trivial, die zweite bedarf einer Erläuterung. Sie gründet sich auf die bei Funktionenplottern vorliegende zweifache Diskretisierung durch eine horizontale „Abtastung“ (auch „Sampling“ genannt) und eine vertikale „Quantisierung“, wie beides analog beim Scannen von Bildern und bei der digitalen Aufzeichnung akustischer Signale vorliegt: Sowohl horizontal als auch vertikal kommen nur endlich viele äquidistante Werte für die geordneten Paare (''m'', ''n'') der Pixel in Frage (s. o.). Und selbst dann, wenn die „horizontalen“ Abtaststützstellen ''m'' bestimmten originalen Argumentstellen ''x'' maßstäblich entsprechen würden (was nicht eintreten muss), so werden die vertikalen „Abtastwerte“ (die sog. „Samples“) im Allgemeinen nur maßstäbliche Approximationen der jeweiligen Funktionswerte ''f(x)'' sein können. Bernard Winkelmann spricht daher von '''Simulation eines Funktionsgraphen'' durch einen Funktionenplotter, und zwar definiert er zuvor:<sup>4</sup> | ||
Simulation ist die effektive Übersetzung eines mathematischen Objekts oder Prozesses in numerische Operationen und gegebenenfalls graphische Darstellungen. | : <small>Simulation ist die effektive Übersetzung eines mathematischen Objekts oder Prozesses in numerische Operationen und gegebenenfalls graphische Darstellungen.</small> <br /> | ||
Und bezogen auf das „Funktionenplotten“ schreibt er dann: | Und bezogen auf das „Funktionenplotten“ schreibt er dann: | ||
Das mathematische Objekt ist der Graph einer Funktion, z. B. sin x für reelle x. Für die Simulation muß ich die Zahlengerade durch ein endliches Intervall ersetzen (Randbedingung), dieses Intervall durch endlich-viele Punkte darin approximieren, für diese Punkte eine Approximation des Funktionswertes berechnen, die entsprechenden Punkte durch Bildschirmpixel approximieren und diese durch Zwischenpixel verbinden. | :<small> Das mathematische Objekt ist der Graph einer Funktion, z. B. ''sin x'' für reelle ''x''. Für die Simulation muß ich die Zahlengerade durch ein endliches Intervall ersetzen (Randbedingung), dieses Intervall durch endlich-viele Punkte darin approximieren, für diese Punkte eine Approximation des Funktionswertes berechnen, die entsprechenden Punkte durch Bildschirmpixel approximieren und diese durch Zwischenpixel verbinden.</small><br /> | ||
Funktionenplotter liefern aber nicht nur „pixelige“ und ggf. „unschöne“ Funktionsplots als „Simulation“ eines Funktionsgraphen, sondern diese Funktionsplots können wegen des sog. „Aliasings“ ( | Funktionenplotter liefern aber nicht nur „pixelige“ und ggf. „unschöne“ Funktionsplots als „Simulation“ eines Funktionsgraphen, sondern diese Funktionsplots können wegen des sog. „Aliasings“ (auch als „Stroboskopeffekt“ bekannt <sup>5</sup>) sogar katastrophal falsch sein, und zwar auch bei hoher Auflösung (also bei großer Abtastrate). <sup>6</sup> | ||
==Die „Hauptsätze für Funktionenplotter“ <sup>7</sup>== | |||
Wegen der beschriebenen „Simulation“ ergeben sich merkwürdige Eigenschaften. Dabei wird ausgenutzt, dass ein Funktionsplot (wie auch ein Funktionsgraph) seinerseits bereits eine Funktion ist, weil ja jedem ersten Element ''m'' des Koordinatenpaares (''m'', ''n'') eindeutig ein zweites Element ''n'' zugeordnet wird. <sup>8</sup><br /> | |||
* ''Erster Hauptsatz für Funktionenplotter'': Jeder Funktionsplot ist stetig.<br /> | |||
Da ein Funktionsplot nur aus endlich vielen Punkten besteht und diese Punkte also isolierte Stellen im Bildschirmfenster sind, reelle Funktionen an isolierten Stellen aber definitionsgemäß stetig sind, ist jeder Funktionsplot überall stetig. Damit können Funktionenplotter Unstetigkeitsstellen grundsätzlich nicht darstellen. Darüber hinaus zeigt diese Überlegung, dass Unstetigkeitsstellen ohnehin visuell ''nicht darstellbar'' sind, sondern dass ''Unstetigkeit nur vorstellbar'' ist, also nur gedacht werden kann. (Ein bemerkenswertes Ergebnis, das die Analyse [[Neue Medien|Neuer Medien]] aus der [[Medienpädagogik#Medienkunde|Medienkunde]] heraus liefert.) <br /> | |||
* ''Zweiter Hauptsatz für Funktionenplotter'': Der Funktionsplot einer periodischen Funktion ist meist falsch. | |||
Das hängt mit dem angedeuteten '''Aliasing''' ('''Stroboskopeffekt''') zusammen. Das „meist“ ist nicht statistisch bezüglich der Benutzer gemeint, sondern wie folgt: Will man einen Funktionsplot von ''x a sin(ax)'' erstellen, und verwendet man dazu eine stochastische Belegung von ''a'' , so ist „fast jeder“ so erzeugte Funktionsplot falsch. | |||
==Literatur== | ==Literatur== | ||