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K
→Mathematischer Sachverhalt
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Es sei <math>A(x)</math> eine [[Aussageform]] und <math>M</math> eine Menge zulässiger bzw. sinnvoller Einsetzungen für <math>x</math> in <math>A(x)</math>, sodass bei Einsetzung eines konkreten Wertes für <math>x</math> in <math>A(x)</math> entweder eine wahre oder eine falsche Aussage entsteht.<br /> | Es sei <math>A(x)</math> eine [[Aussageform]] und <math>M</math> eine Menge zulässiger bzw. sinnvoller Einsetzungen für <math>x</math> in <math>A(x)</math>, sodass bei Einsetzung eines konkreten Wertes für <math>x</math> in <math>A(x)</math> entweder eine wahre oder eine falsche Aussage entsteht.<br /> | ||
Ist nun <math>\varnothing\ne G\subseteq M</math> und <math>L:=\{x \in G|A(x)\}</math> (d. h.: <math>L</math> ist die Menge aller derjenigen Elemente aus <math>G</math>, die <math>A(x)</math> in eine wahre Aussage überführen, die also <math>A(x)</math> „lösen“), so heißt <math>L</math> „Lösungsmenge“ von <math>A(x)</math> bezüglich der gewählten „Grundmenge“ <math>G</math> | Ist nun <math>\varnothing\ne G\subseteq M</math> und <math>L:=\{x \in G|A(x)\}</math> (d. h.: <math>L</math> ist die Menge aller derjenigen Elemente aus <math>G</math>, die <math>A(x)</math> in eine wahre Aussage überführen, die also <math>A(x)</math> „lösen“), so heißt <math>L</math> „Lösungsmenge“ von <math>A(x)</math> bezüglich der gewählten „Grundmenge“ <math>G</math>. Diese Lösungsmenge könnte man auch genauer mit <math>L_{A(x),G}</math> oder – wenn keine Missverständnisse entstehen – kurz mit <math>L_{G}</math> bezeichnen, um damit deutlich zu machen, dass sie nicht nur von der Aussageform <math>A(x)</math> abhängig ist, sondern insbesondere auch von der jeweiligen Grundmenge <math>G</math>. Diese Grundmenge kann z. B. eine Menge von Zahlen, von Zahlenpaaren, von Vektoren, von Funktionen, von geometrischen Objekten wie Punkten, Strecken, Figuren usw. sein. So hat beispielsweise eine numerische Gleichung per se noch keine Lösungsmenge, sondern diese hängt wesentlich von der gewählten Grundmenge ab. <br /> | ||
Sofern die Grundmenge <math>G</math> mehr als ein Elemente enthält (<math>|G| > 1</math>), können prinzipiell folgende Fälle auftreten:<br /> | Sofern die Grundmenge <math>G</math> mehr als ein Elemente enthält (<math>|G| > 1</math>), können prinzipiell folgende Fälle auftreten:<br /> | ||
# <math>L=\varnothing</math>: Es gibt keine Lösung in <math>G</math>, die Aussageform ist in <math>G</math> ''unlösba''r. | # <math>L=\varnothing</math>: Es gibt keine Lösung in <math>G</math>, die Aussageform ist in <math>G</math> ''unlösba''r. | ||