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Relation: Unterschied zwischen den Versionen

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75 Bytes hinzugefügt ,  2. April 2018
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Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „[[Zuordnung]]“) verwendet. <ref>Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.</ref> Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen, etwa <math>A</math> und <math>B</math> genannt) zu beschreiben, also darum, ob und wie <math>a</math> zu <math>b</math> „in Beziehung steht“, falls <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie <math>{{a}^{2}}=2b-1</math> oder eine Ungleichung wie <math>3a<2\sqrt{b}</math> beschrieben werden.<br />
Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „[[Zuordnung]]“) verwendet. <ref>Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.</ref> Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen, etwa <math>A</math> und <math>B</math> genannt) zu beschreiben, also darum, ob und wie <math>a</math> zu <math>b</math> „in Beziehung steht“, falls <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie <math>{{a}^{2}}=2b-1</math> oder eine Ungleichung wie <math>3a<2\sqrt{b}</math> beschrieben werden.<br />
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit <math>R</math> bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare <math>(a,b)</math> aus der „Produktmenge“ <math>A\times B</math> gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge <math>A\times B</math> als eine ''„Relation zwischen <math>A</math> und <math>B</math>“'' – oder genauer: als eine ''„Relation von <math>A</math> nach <math>B</math>“'' – aufzufassen.<br />
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit <math>R</math> bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare <math>(a,b)</math> aus der „Produktmenge“ <math>A\times B</math> gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge <math>A\times B</math> als eine ''„Relation zwischen <math>A</math> und <math>B</math>“'' – oder genauer: als eine ''„Relation von <math>A</math> nach <math>B</math>“'' – aufzufassen.<br />
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber unverändert bleibt, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber unverändert bleibt, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen – und vor allem situativ zu beachten und unterscheiden!
 
==Definitionen==
==Definitionen==
===Grundlegende Definitionen===
===Grundlegende Definitionen===
Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ dieses Paares ankommt (im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:
Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ dieses Paares ankommt (im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch elegant zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:
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! Definitionen !! Anmerkungen
! Definitionen !! Anmerkungen
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| ''Voraussetzung:''  Es seien {{sp}} <math>A,B,R</math> {{sp}} Mengen und <math>n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\{1\}</math> (also <math>n>1</math>). ||  
| ''Voraussetzung:''  Es seien {{sp}} <math>A,B,R</math> {{sp}} Mengen und {{sp}} <math>n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\{1\}</math> ({{sp}} also <math>n>1</math>). ||  
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| Für beliebige Objekte {{sp}} <math>a, b</math> {{sp}} gilt::
| Für beliebige Objekte {{sp}} <math>a, b</math> {{sp}} gilt: <math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math> || <math>(a,b)</math> {{sp}} heißt „'''geordnetes Paar'''“.  
<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math>|| <math>(a,b)</math> {{sp}} heißt „'''geordnetes Paar'''“.<br />
Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass <math>(a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b</math> {{sp}} gilt.<br />
Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass <math>(a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b</math>  gilt.<br />
<math>(a,b)</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zum geordneten <math>n</math>-Tupel <math>({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})</math> verallgemeinern.<br />Spezielle Namen sind für <math>n=3</math> „'''Tripel'''“ und für <math>n=4</math> „'''Quadrupel'''“.
<math>(a,b)</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zum geordneten <math>n</math>-Tupel <math>({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})</math> verallgemeinern.<br />Spezielle Namen sind für <math>n=3</math> „'''Tripel'''“ und für <math>n=4</math> „'''Quadrupel'''“.
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| : <math>A\times B:=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}</math> || <math>A\times B</math> {{sp}} heißt „'''Produktmenge'''“ oder „'''kartesisches Produkt'''“ (von <math>A</math> und <math>B</math>).<br />
| <math>A\times B:=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}</math> || <math>A\times B</math> {{sp}} heißt „'''Produktmenge'''“ oder „'''kartesisches Produkt'''“ (von <math>A</math> und <math>B</math>).<br />
<math>A\times B</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zu <math>{{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}</math> verallgemeinern.
<math>A\times B</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zu <math>{{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}</math> verallgemeinern.
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Für binäre Relationen wird folgende '''Schreibweise''' vereinbart:: <math>xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R</math>
Für binäre Relationen wird folgende '''Schreibweise''' vereinbart:: <math>xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R</math>


===<div id="Spezielle Relationen"></div>Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen <small><small><ref>Veranschaulichungen und weitetre Erläuterungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]</ref></small></small>===
===<div id="Spezielle Relationen"></div>Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen <small><small><ref>Veranschaulichungen und weitere Erläuterungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]</ref></small></small>===
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