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→Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen Erläuterungen und Veranschaulichungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]
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! Definitionen !! Anmerkungen | ! Definitionen !! Anmerkungen | ||
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| ''Voraussetzung:'' <math>A,B,R</math> seien Mengen, <math>R\ne \varnothing</math> und <math>R\subseteq M\times M</math>. || | | ''Voraussetzung:'' <math>A,B,R</math> seien Mengen, <math>R\ne \varnothing</math> und <math>R\subseteq M\times M</math>. || ''Die nachfolgenden Erläuterungen deuten <math>xRy</math> als einen „'''Pfeil''' von <math>x</math> nach <math>y</math>“''. | ||
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| <math>R</math> ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> dann <math>yRx</math> || | | <math>R</math> ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> dann <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph). | ||
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| <math>R</math> ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> dann '''nicht''' <math>yRx</math> ) || | | <math>R</math> ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> dann '''nicht''' <math>yRx</math>. ) || Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph). | ||
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| <math>R</math> ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> und <math>yRx</math> dann <math>x=y</math> || | | <math>R</math> ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> wenn <math>xRy</math> und <math>yRx</math> dann <math>x=y</math>. || Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich. | ||
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| <math>R</math> ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> wenn <math>xRy</math> und <math>yRz</math> dann <math>xRz</math> || | | <math>R</math> ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> wenn <math>xRy</math> und <math>yRz</math> dann <math>xRz</math>. || Wenn überhaupt eine Verbindung, dann eine kürzeste (Existenz von Überbrückungspfeilen). | ||
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| | | <math>R</math> ist '''reflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> <math>xRx</math>. || Überall Schleifen. | ||
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| | | <math>R</math> ist '''irreflexiv in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x:</math> '''nicht''' <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen. | ||
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| | | <math>R</math> ist '''konnex in'''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> <math>xRy</math> oder <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen. | ||
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==Literatur== | ==Literatur== | ||