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Baustelle:Funktion: mengentheoretische Auffassung: Unterschied zwischen den Versionen
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Baustelle:Funktion: mengentheoretische Auffassung (Quelltext anzeigen)
Version vom 18. August 2013, 09:30 Uhr
, 18. August 2013→Funktionsdefinition
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* Wenn die Ausgangsmenge mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, wenn also <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> gilt, wird ''jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge'' zugeordnet, so dass also <math>f\,:A\to B</math> gilt. Es bietet sich für den Mathematikunterricht an, mit dieser engeren Sichtweise zu beginnen (und ggf. dabei zu bleiben). | * Wenn die Ausgangsmenge mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, wenn also <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> gilt, wird ''jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge'' zugeordnet, so dass also <math>f\,:A\to B</math> gilt. Es bietet sich für den Mathematikunterricht an, mit dieser engeren Sichtweise zu beginnen (und ggf. dabei zu bleiben). | ||
* Der Aspekt der eindeutigen Zuordnung liegt in zweispaltigen Tabellen automatisch vor, wenn sich in der „Eingangspalte“ (links) kein Element wiederholt. Damit kann eine „Funktion“ alternativ von Anbeginn an auch mit einer solchen Tabelle identifiziert werden, dieses in Übereinstimmung mit der Auffassung der Numeriker und ganz in der kulturhistorischen Tradition der Mathematik von den Babyloniern bis Du Bois-Reymond (s. o). | * Der Aspekt der eindeutigen Zuordnung liegt in zweispaltigen Tabellen automatisch vor, wenn sich in der „Eingangspalte“ (links) kein Element wiederholt. Damit kann eine „Funktion“ alternativ von Anbeginn an auch mit einer solchen Tabelle identifiziert werden, dieses in Übereinstimmung mit der Auffassung der Numeriker und ganz in der kulturhistorischen Tradition der Mathematik von den Babyloniern bis Du Bois-Reymond (s. o). | ||
* Die symbolische Darstellung „<math>f\,:A\to B</math>“ ist eine Aussage (bzw. Eigenschaft) und bedeutet definitionsgemäß und ist so zu lesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> in <math>B</math>“. Damit ist es sprachlich nicht korrekt, | * Die symbolische Darstellung „<math>f\,:A\to B</math>“ ist eine Aussage (bzw. Eigenschaft) und bedeutet definitionsgemäß und ist so zu lesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> in <math>B</math>“. Damit ist es sprachlich nicht korrekt, <math>f\,:A\to B</math> eine „Funktion“ zu nennen, sondern korrekt wäre z. B. entweder „die Funktion <math>f</math> von <math>A</math> in <math>B</math>“ oder „die Funktion <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>f\,:A\to B</math>“. | ||
* Es ist zu beachten, dass bei Funktionen | * Es ist zu beachten, dass bei Funktionen der mit dem Symbol <math>f(x)</math> bezeichnete „Funktions'''wert'''“ (ganz im Sinne der kulturhistorischen Tradition) nicht notwendig ein [[Term]] sein muss, so dass man hier besser nicht immer von einem „Funktionsterm“ sprechen sollte. Ganz anders ist die Situation bin [[Funktionenplotter|Funktionenplottern]], die ''nur die Darstellung termdefinierter Funktionen'' ermöglichen können. | ||
* Offensichtlich kann man nicht termdefinierbare Funktionen mit endlichem Definitionsbereich durch eine Tabelle darstellen. Aber das ist auch bei nicht endlichem Definitionsbereich möglich, wie etwa folgendes Beispiel zeigt: Es sei <math>f(n)</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math> die <math>n</math>-te Dezimalstelle von <math>\pi</math>, also <math>f(0)=3</math>, <math>f(1)=1</math>, <math>f(2)=4</math> ..., dann lässt sich dies mit einer unendlichen Tabelle erfassen. | * Offensichtlich kann man nicht termdefinierbare Funktionen mit endlichem Definitionsbereich durch eine Tabelle darstellen. Aber das ist auch bei nicht endlichem Definitionsbereich möglich, wie etwa folgendes Beispiel zeigt: Es sei <math>f(n)</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math> die <math>n</math>-te Dezimalstelle von <math>\pi</math>, also <math>f(0)=3</math>, <math>f(1)=1</math>, <math>f(2)=4</math> ..., dann lässt sich dies mit einer (gedachten!) unendlichen Tabelle erfassen. | ||
* Nur dann, wenn <math>y=f(x)</math> gilt und <math>f(x)</math> für alle betrachteten <math>x</math> ein [[Term]] ist, kann man also „<math>y=f(x)</math>“ eine '''Funktionsgleichung''' nennen. | * Nur dann, wenn <math>y=f(x)</math> gilt und <math>f(x)</math> für alle betrachteten <math>x</math> ein [[Term]] ist, kann man also „<math>y=f(x)</math>“ eine '''Funktionsgleichung''' nennen. | ||