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===Didaktische Vertiefung=== | ===Didaktische Vertiefung=== | ||
====Funktionsdefinition==== | ====Funktionsdefinition==== | ||
Wenn die Ausgangsmenge mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, wird jedem Elemente der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet, so dass also gilt. | * Ein wesentlicher Aspekt beim Funktionsbegriff ist die eindeutige Zuordnung, die mit „rechtseindeutig“ erfasst werden kann, ohne schon <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> mit voraussetzen zu müssen. | ||
* Wenn die Ausgangsmenge mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, also <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math>, wird ''jedem Elemente der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge'' zugeordnet, so dass also <math>f\,:A\to B</math> gilt. Es bietet sich an, mit dieser engeren Sichtweise zu beginnen (und ggf. dabei zu bleiben). | |||
* Der Aspekt der eindeutigen Zuordnung liegt in zweispaltigen Tabellen automatisch vor, wenn sich in der „Eingangspalte“ (links) kein Element wiederholt. Damit kann eine „Funktion“ alternativ von Anbeginn an auch mit einer solchen Tabelle identifiziert werden, dieses in Übereinstimmung mit der Auffassung der Numeriker und ganz in der kulturhistorischen Tradition der Mathematik von den Babyloniern bis Du Bois-Reymond (s. o). | |||
* Es ist zu beachten, dass bei Funktionen <math>f(x)</math> (ganz im Sinne der kulturhistorischen Tradition) nicht notwendig ein [[Term]] sein muss, so dann man hier also auch nicht von einem „Funktionsterm“ sprechen sollte. Ganu anders ist die Situation bin [[Funktionenplotter|Funktionenplottern]], die nur die Darstellung termdefinierter Funktionen ermöglichen können. | |||
====Funktionsgraph==== | |||
* Die übliche o. g. Definition des Funktionsgraphen gemäß <math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> resultiert aus dem Wunsch der Darstellung der Wertepaare <math>(x,f(x))</math> durch Punkte in einem Koordinatensystem, wobei diese Wertepaare <math>(x,f(x))</math> nicht notwendig numerischer Art sein müssen. Wenn nun aber eine Funktion formal streng als spezielle Relation definiert wird und eine Relation ja gerade eine Menge geordneter Paare ist, so erhalten wir: <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math> | |||
* Konsequenz: Es gibt keinen Unterschied zwischen „Funktion“ und „Funktionsgraph“, wenn man diesen so wie oben definiert. Das hat zur weiteren Konsequenz, dass der „Funktionsgraph“ bereits eine Funktion '''ist''' und man in der Tat beispielsweise eine ''„Parabel als quadratische Funktion“'' bezeichnen kann. <ref>Vgl. den ersten Abschnitt.</ref> Auch der von einem [[Funktionenplotter]] erzeugte Funktionsplot ist damit eine Funktion.<br /> | |||
Das leitet ueber zu den vielen Gesichtern von Funktionen: | |||
== Funktionen haben viele Gesichter == | == Funktionen haben viele Gesichter == | ||
===Grundsätzliches=== | ===Grundsätzliches=== | ||