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:: [...] Funktionen im Sinne von Fourier und Dirichlet müssen weder differenzierbar noch stetig sein. | :: [...] Funktionen im Sinne von Fourier und Dirichlet müssen weder differenzierbar noch stetig sein. | ||
Es ist zu beachten, dass damit bei '''Fourier''' und '''Dirichlet''' Funktionen ertsmalig nicht mehr (wie bei Euler) einem „Bildungsgesetz“ gehorchen müssen, weil sie ''nicht mehr termdefinierbar'' sein müssen (was für empirische Funktionen der „Normalfall“ ist).<br /> | <div id="nicht termdefinierbar"</div>Es ist zu beachten, dass damit bei '''Fourier''' und '''Dirichlet''' Funktionen ertsmalig nicht mehr (wie bei Euler) einem „Bildungsgesetz“ gehorchen müssen, weil sie ''nicht mehr termdefinierbar'' sein müssen (was für empirische Funktionen der „Normalfall“ ist).<br /> | ||
Auch Richard '''Dedekind''' fasst Funktionen als eindeutige Zuordnungen auf, verwendet aber die Bezeichnung „Abbildung“, wobei er noch von einem „Gesetz“ spricht. <ref>Vgl. [Hischer 2012, 153]</ref><br /> | Auch Richard '''Dedekind''' fasst Funktionen als eindeutige Zuordnungen auf, verwendet aber die Bezeichnung „Abbildung“, wobei er noch von einem „Gesetz“ spricht. <ref>Vgl. [Hischer 2012, 153]</ref><br /> | ||
Paul '''Du Bois-Reymond''' erfasst den Aspekt der eindeutigen Zuordnung durch die Auffassung von „Funktion als Tabelle“ (wie bei den Babyloniern), was Felgner wie folgt kommentiert: <ref>[Felgner 2002, 626]; zitiert bei [Hischer 2012, 152] in Verbindung mit dem Originaltext von Du Bois-Reymond.</ref> | Paul '''Du Bois-Reymond''' erfasst den Aspekt der eindeutigen Zuordnung durch die Auffassung von „Funktion als Tabelle“ (wie bei den Babyloniern), was Felgner wie folgt kommentiert: <ref>[Felgner 2002, 626]; zitiert bei [Hischer 2012, 152] in Verbindung mit dem Originaltext von Du Bois-Reymond.</ref> | ||
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Die Schreib- bzw. Sprechweisen „<math>f</math> ''ist eine Funktion''“ und „<math>f</math> ''ist eine rechtseindeutige Relation''“ sind also gemäß dieser Definition gleichbedeutend. Ihr liegt Folgendes zugrunde: | Die Schreib- bzw. Sprechweisen „<math>f</math> ''ist eine Funktion''“ und „<math>f</math> ''ist eine rechtseindeutige Relation''“ sind also gemäß dieser Definition gleichbedeutend. Ihr liegt Folgendes zugrunde: | ||
[[Datei:Funktion_als_rechtseindeutige_Relation.png|thumb|right|300px|| | [[Datei:Funktion_als_rechtseindeutige_Relation.png|thumb|right|300px||<big>'''Pfeildiagramme''' von zwei Relationen:</big><br /> | ||
links: Relation ist nicht rechtseindeutig;<br /> | ''links:'' die Relation ist nicht rechtseindeutig;<br /> | ||
rechts: Relation ist rechtseindeutig.<br /> | <big>''rechts:''</big> die Relation ist rechtseindeutig, sie zeigt eine<br /> | ||
<big>„'''Funktion'''“ als rechtseindeutige Relation.</big> <br /> | |||
Nur die Relation rechts ist auch linkseindeutig.]] | Nur die Relation rechts ist auch linkseindeutig.]] | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
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| <math>f</math> sei eine (nicht leere) Funktion und <math>f\subseteq A\times B</math> mit nicht leeren Mengen <math>A</math> und <math>B</math>, ferner <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. || (generelle Voraussetzung für das Folgende) | | <math>f</math> sei eine (nicht leere) Funktion und <math>f\subseteq A\times B</math> mit nicht leeren Mengen <math>A</math> und <math>B</math>, ferner <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. || (generelle Voraussetzung für das Folgende) | ||
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| | | <math>x\mapsto y</math> || gelesen: „dem <math>x</math> wird das <math>y</math> zugeordnet“<br /> | ||
oder: „das <math>y</math> wird dem <math>x</math> zugeordnet“<br /> | |||
oder: „aus <math>x</math> wird <math>y</math>“,<br /> | |||
aber nicht : „<math>x</math> wird zugeordnet <math>y</math>“ (weil nicht eindeutig). | |||
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| | | Falls <math>x\mapsto y</math> bezüglich der Funktion <math>f</math>, dann ist <math>f(x):=y</math>, || <math>f(x)</math> heißt dann '''Funktionswert''' von „<math>x</math> bezüglich <math>f</math>.<br /> | ||
<math>f(x)</math> muss nicht als [[Term]] darstellbar sein. <ref>Vgl. die Anmerkungen [[#zur kulturhistorischen Begriffsgenese|nicht termdefinierbar]] des Funktionsbegriffs.</ref> | |||
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| Beispiel || Beispiel | | Beispiel || Beispiel | ||