Zahlenbereiche

Definition

Zahlenbereiche sind Mengen von Zahlen, wobei diese durch bestimmte Eigenschaften definiert sind. In jedem Bereich existieren arithmetische Gesetzmäßigkeiten, mit denen man innerhalb der Menge operieren kann.

Arten von Zahlenbereichen und deren Eigenschaften

Datei:Zahlenbereich.png

Übersicht Zahlenbereiche

Natürliche Zahlen: ℕ = {1, 2, 3,…}, ℕ0 = ℕ ∪ {0}

ℤ = {x | x ∈ ℕ0 v –x ∈ ℕ0}

ℚ = {mit m ∈ ℤ, n ∈ ℕ}

ǁ= Menge der unendlichen und nichtperiodischen Kommazahlen

ℝ = ℚ ∪ ǁ

ℂ = {z | z = x+iy mit x,y ∈ ℝ, x=Re z, y=Im z} ; i = imaginäre Einheit

Gesetzmäßigkeiten

Natürliche Zahlen

Mit je zwei natürlichen Zahlen m und n sind auch die Summe m+n und das Produkt m·n wieder eine natürliche Zahl. Für Differenzen und Quotienten gilt das im Allgemeinen nicht.

In den natürlichen Zahlen gelten folgende Rechengesetze mit m,n,k ∈ ℕ:

Kommutativgesetz für Addition: m + n = n + m

Assoziativgesetz für Addition: (m + n) + k = m + (n + k)

Kommutativgesetz für Multiplikation: m • n = n • m

Assoziativgesetz für Multiplikation: (m • n)• k = m • (n • k)

Distributivgesetz: m • (n + k) = m • n + m • k

Außerdem gelten auch die Peano-Axiome:

(P1) 1∈ ℕ

(P2) Falls n∈ ℕ, dann gibt es einen Nachfolger n‘ in ℕ, n‘ = n+1.

(P3) 1 ist kein Nachfolger.

(P4) Falls n, m ∈ ℕ und n‘= m‘ dann folgt, dass n=m.

Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen zahlen enthält die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen mit {0} und alle additiven Inversen von ℕ0. In ℤ sind die Verknüpfungen Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen. Für die Division gilt dies nicht.

Die Assoziativ- und Kommutativgesetze bezüglich Addition und Multiplikationen, sowie das Distributivgesetz stimmen mit denen der natürlichen Zahlen überein.

Rationale Zahlen

Die Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen um die Bruchzahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen, in der die Division im Allgemeinen gültig ist. Dabei ist die Division durch Null nicht erlaubt.

Für alle x, y, z ∈ ℚ gilt das Distributivgesetz:

1) x • (y + z) = x • y + x • z

2) x • (y - z) = x • y - x • z

Reelle Zahlen

Im Bereich der reellen Zahlen wird die Menge der rationalen Zahlen um die Menge der irrationalen Zahlen erweitert. Die Menge der reellen Zahlen wird in der Mathematik als Körper bezeichnet. Man bezeichnet eine Menge als Körper, wenn folgende Gesetze erfüllt sind:

1)Kommutativgesetze

2)Assioziativgesetze

3)Distributivbesetze

für alle Elemente a, b, c der Menge der reellen Zahlen.

Komplexe Zahlen

Alle komplexen Zahlen lassen sich als Summe einer reellen Zahl und einem Vielfachen von i darstellen: z = x + i·y, wobei x und y reelle Zahlen sind. x heißt Realteil von z (oder kurz Re(z)) und y Imaginärteil von z (Im(z)). In den komplexen Zahlen gelten folgende Rechengesetze:

1)(x₁ + i • y₁) + (x₂ + i • y₂) = (x₁ + x₂) + i • (y₁ + y₂)

2)(x₁ + i • y₁) - (x₂ + i • y₂) = (x₁ - x₂) + i • (y₁ - y₂)

3)(x₁ + i • y₁) • (x₂ + i • y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂) + i • (x₁y₂ + x₂y₁)

4)(x₁ + i • y₁) / (x₂ + i • y₂) = (x₁x₂ + y₁y₂) / (x₂²+ y₂²) + i • (x₂y₁ - x₁y₂) / (x₂²+ y₂²)

5)Division nur im Falle von x₂ + i • y₂ ≠ 0