Zahlenbereiche: Unterschied zwischen den Versionen

 

[[Datei:Überischt_Zahlbereiche_1.jpg|200px|thumb|right|systematischer Aufbau der Zahlenbereiche, erstellt von Saskia Dubrau]]

'''Natürliche Zahlen''': Die Menge der natürlichen Zahlen  enthält alle positiven, ganzen Zahlen.

 

Mathematische Schreibweise:ℕ = {1, 2, 3,…}, ℕ₀ = ℕ ∪ {0}

'''Ganze Zahlen''': Die Menge der ganzen Zahlen enthält die Elemente und alle additiven Inversen  

Mathematische Schreibweise: ℤ = {x | x ∈ ℕ₀ v –x ∈ ℕ₀}

'''Rationale Zahlen''': Die Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen um die Bruchzahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen.

Mathematische Schreibweise: ℚ = {x | x= m/n | m, n ∈ ℤ, n≠0}

'''Irrationale Zahlen''': ǁ = Menge der unendlichen und nichtperiodischen Dezimalzahlen.

'''Reelle Zahlen''': Im Bereich der reellen Zahlen wird die Menge der rationalen Zahlen um die Menge der irrationalen Zahlen erweitert.

Mathematische Schreibweise: ℝ = ℚ ∪ ǁ

'''Komplexe Zahlen''': Alle komplexen Zahlen lassen sich als Summe einer reellen Zahl und einem Vielfachen von i (= imaginäre Einheit) darstellen: z = x + i·y, wobei x und y reelle Zahlen sind. Dabei x heißt Realteil von z (oder kurz Re(z)) und y Imaginärteil von z (Im(z)). Beachte: In den komplexen Zahlen gilt, dass i²= -1 und das

 

Mathematische Schreibweise: ℂ = {z | z = x+iy | x,y ∈ ℝ}

Die natürlichen Zahlen können mit den folgenden die Peano-Axiomen definiert werden:

In den rationalen Zahlen gelten die Assoziativ- und Kommutativgesetze bezüglich Addition und Multiplikation, sowie das Distributivgesetz. Dabei ist die Division im Allgemeinen gültig ist, jedoch durch Null nicht definiert.  

In der Menge der reellen Zahlen gelten die Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze. Weiterhin sind die reellen Zahlen bezüglich Wurzel- und Potenzoperationen abgeschlossen. Daher gelten folgende Gesetze:

1. Potenzgesetze:

i) aⁿ · a^m = a^n+m

ii) aⁿ · bⁿ = ( a · b )ⁿ

iii) (aⁿ)^m = a^(n·m)

 

 

v) aⁿ : bⁿ = ( a : b )ⁿ

 

 

2.Wurzelgesetze

 

 

 

 

 

In den komplexen Zahlen gelten folgende Rechengesetze:

1) (x₁ + i • y₁) + (x₂ + i • y₂) = (x₁ + x₂) + i • (y₁ + y₂)

2) (x₁ + i • y₁) - (x₂ + i • y₂) = (x₁ - x₂) + i • (y₁ - y₂)

3) (x₁ + i • y₁) • (x₂ + i • y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂) + i • (x₁y₂ + x₂y₁)

4) (x₁ + i • y₁) / (x₂ + i • y₂) = (x₁x₂ + y₁y₂) / (x₂²+ y₂²) + i • (x₂y₁ - x₁y₂) / (x₂²+ y₂²)

(Division nur im Falle von x₂ + i • y₂ ≠ 0)

 

 

 

==Themenvernetzung==

 

 

 

[[Datei:Vernetzungen_zu_anderen_Begriffen1.jpg|Vernetzung der Zahlenbereiche mit weiteren Themen im Mathematikunterricht am Bsp. Sachsen-Anhalt, erstellt von Susann Röwer]]