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Weg-Zeit-Diagramme: Unterschied zwischen den Versionen
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Weg-Zeit-Diagramme sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt. | Weg-Zeit-Diagramme sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg ''s'' von der Zeit ''t'' abhängt. | ||
Dabei wird die Zeit ''t'' auf der | Dabei wird die Zeit ''t'' auf der Abszissenachse, der Weg ''s'' auf der Ordinatenachse abgetragen. | ||
Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Differenzenquotienten <math>\frac{\Delta s}{\Delta t}</math> ermittelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht dem Differentialquotienten <math>\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}</math> | Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Differenzenquotienten <math>\frac{\Delta s}{\Delta t}</math> ermittelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht dem Differentialquotienten <math>\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}</math>, der ersten Ableitung an der Stelle <math>t_0</math>. | ||
== Anwendung im Mathematikunterricht == | == Anwendung im Mathematikunterricht == | ||
Für den Mathematikunterricht kann man diese Form der Darstellung von Funktionen nutzen, um die Begriffe Ableitung, Differenzenquotient, Anstieg | Für den Mathematikunterricht kann man diese Form der Darstellung von Funktionen nutzen, um die Begriffe Ableitung, Differenzenquotient, Anstieg usw. praxisnah zu erklären. Dabei kann eine Verbindung zum Physik-Unterricht und umgekehrt hergestellt werden. | ||
== Beispielaufgaben == | == Beispielaufgaben == | ||
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Zeichnet man diese Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm, so entsteht folgender Graph: | Zeichnet man diese Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm und vervollständigt sie geeignet, so entsteht folgender Graph: | ||
[[Datei:Auto1.jpg|600px]] | [[Datei:Auto1.jpg|600px]] | ||
<math> s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]]. Der Anstieg der Funktion entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit und kann über das Steigungsdreieck (Differenzenquotient) ermittelt werden: | <math> t \rightarrow s(t)</math> ist eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]]. Der Anstieg der Funktion entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit und kann über das Steigungsdreieck (Differenzenquotient) ermittelt werden: | ||
<math>m={\frac{\Delta s}{\Delta t}}={\frac{ | <math>m={\frac{\Delta s}{\Delta t}}={\frac{20 m-5 m}{4 s-1 s}}=5 \frac{m}{s}=\overline v</math>. | ||
Damit hat man für die Bewegung des Autos eine Funktion gefunden: | Damit hat man für die Bewegung des Autos eine Funktion gefunden: | ||
<math>s(t)=5\frac{m}{s} \cdot t</math> | <math>t \rightarrow s(t)=5\frac{m}{s} \cdot t</math> | ||
Die Momentangeschwindigkeit z.B. zum Zeitpunkt <math>t=2, | Die Momentangeschwindigkeit z. B. zum Zeitpunkt <math>t=2,5 s</math> ermittelt man durch Bilden der Ableitung der Funktion <math>s(t)=5 \frac{m}{s} \cdot t</math> und Einsetzen von <math>t=2,5 s</math>: | ||
<math>v(t)=s'(t)=5\frac{m}{s}</math> | <math>v(t)=s'(t)=5\frac{m}{s}</math> | ||
Das Auto fährt, egal zu welchem Zeitpunkt, mit konstanter Geschwindigkeit. Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung. | |||
<math>v(t=2, | <math>v(t=2,5 s)=s'(t=2,5 s)=5 \frac{m}{s}</math> | ||
=== | === Gleichmäßig beschleunigte Bewegung === | ||
Etwas eindrucksvoller ist die Betrachtung einer | Etwas eindrucksvoller ist die Betrachtung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, etwa beim Anfahren eines Autos an einer Ampel: | ||
Eine Auto beschleunige mit <math>a=3\frac{m}{s^2}</math>. Folgende Messwerte wurden aufgenommen: | Eine Auto beschleunige mit <math>a=3\frac{m}{s^2}</math>. Folgende Messwerte wurden aufgenommen: | ||
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Auch hier kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit anhand des Differenzenquotienten ermitteln. | Auch hier kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit anhand des Differenzenquotienten ermitteln. | ||
Die Funktion <math>s(t)=\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_0</math> beschreibt die Bewegung des Fahrzeugs. Da das Auto keine Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> hat und der Anfangsweg <math>s_0</math> ebenfalls 0 ist, verschwinden diese Terme | Die Funktion <math>t \rightarrow s(t)=\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_0</math> beschreibt die Bewegung des Fahrzeugs. Da das Auto hier keine Anfangsgeschwindigkeit <math>v_0</math> hat und der Anfangsweg <math>s_0</math> ebenfalls 0 ist, verschwinden hier diese Terme in dieser Gleichung. | ||
Es interessiert die (Momentan-) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t=3, | Es interessiert die (Momentan-)Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t=3,5 s</math>. | ||
<math>v(t)=s'(t)=2\cdot \frac{a}{2} \cdot t=a \cdot t</math> | <math>v(t)=s'(t)=2\cdot \frac{a}{2} \cdot t=a \cdot t</math> | ||
<math>v(t=3, | <math>v(t=3,5 s)=s'(t=3,5 s)=3\frac{m}{s^2} \cdot 3,5 s=10,5 \frac{m}{s} </math> | ||
Interessant wird die Aufgabe nun, wenn man die Problematik der Gefahrenbremsung betrachtet: | Interessant wird die Aufgabe nun, wenn man die Problematik der Gefahrenbremsung betrachtet: | ||
Das Auto kann mit einer maximalen negativen Beschleunigung <math>a</math> bremsen/verzögern. Nun kommt ein Hindernis vor das Auto, welches mit einer bestimmten | Das Auto kann mit einer maximalen negativen Beschleunigung <math>a</math> bremsen/verzögern. Nun kommt ein Hindernis vor das Auto, welches mit einer bestimmten (Anfangs-)Geschwindigkeit <math>v_0</math> fährt. Unter Berücksichtigung einer Reaktionszeit ist zu berechnen, ob es das Auto schafft, rechtzeitig zum Stillstand zu kommen. | ||
Sollte dies nicht der Fall sein, so kann man die Geschwindigkeit beim Aufprall bestimmen. | Sollte dies nicht der Fall sein, so kann man die Geschwindigkeit beim Aufprall bestimmen. | ||