Vorstellungen von 0,99999...: Unterschied zwischen den Versionen

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren, so kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang <math>  \textstyle \frac{1}{9} = 0,11111... = 0,1\overline{1} </math> folgt:

Der Zusammenhang kann auch anschaulich bewiesen werden. Man konstruiere einen [[Zahlenstrahl]], der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort leicht die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1 so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo <math>  \textstyle 0,9\overline{9} = 0,99999...</math>  liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math>.

<br /> Führt man nun diesen Beweis mit <math> \epsilon = 10^{-k} </math> mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit war die Annahme falsch.  Da <math>0,9\overline{9} > 1</math>ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math> ist. Es gibt also kein Abstand <math> \epsilon </math> zwischen <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math>und 1, egal wie klein er gewählt wird.