Vorstellungen von 0,99999...: Unterschied zwischen den Versionen

Der Dezimalbruch <math>0,9\overline{9}</math> mit der Eigenschaft <math>0,9\overline{9} = 1</math> verursacht häufig Konflikte in den Schülervorstellungen, findet aber als Zahl keine explizite Erwähnung in den Lehrplänen respektive Rahmenrichtlinien der Schulen.

== Beweise für <math>  \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math> ==

'''Rechnerische Verfahren''' <ref name="bauer"> Bauer, Ludwig: Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9}</math>. In: Journal für Mathematikunterricht, Heft 1, 2011, 79-102 </ref>

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren. So kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang <math>  \textstyle \frac{1}{9} = 0,11111... = 0,1\overline{1} </math> folgt:

<br /> <math> 1 = \frac{1}{9} \cdot 9 = 0,99999... = 0,9\overline{9}</math>

<br /> I   <math> x= 0,99999... (= 0,9\overline{9}) </math>

<br /> II <math>10 x = 9,99999... </math>

<br /> II-I liefert dann <math> 9 x = 9,00000...</math>, also <math> x = \frac{9}{9 } = 1</math>.

<br /> Mit I folgt dann <math>0,9\overline{9}= 1</math>.

'''Anschauliche Darstellung'''<ref name="bauer" />

Der Zusammenhang kann auch anschaulich bewiesen werden. Man konstruiere einen [[Zahlenstrahl]], der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort leicht die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1, so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo <math>  \textstyle 0,9\overline{9} = 0,99999...</math>  liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math>.

<br /> Man nehme an, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> ist. Dann gibt es ein <math> \epsilon </math>, das den Abstand von <math> \textstyle 0,9\overline{9}</math> zu 1 beschreibt.  

Zur Veranschaulichung sei nun <math>  \textstyle \epsilon = 0,000.000.001 </math>. Dann ist <math>  \textstyle \epsilon = 1 - 0,9\overline{9}</math> oder anders ausgedrückt <math>  \textstyle \epsilon + 0,9\overline{9} = 1</math>.

<br /> Andererseits gilt aber

<br /> I  <math> \epsilon = 0,000.000.001</math>

<br /> II <math>0,9\overline{9} = 0,999.999.999.999...</math>

<br /> Mit I+II folgt <math> \epsilon + 0,9\overline{9} = 1,000.000.000.999 >  1</math>, was einen Widerspruch zur Annahme bildet.

<br /> Führt man nun diesen Beweis mit <math> \epsilon = 10^{-k} </math> mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit erweist sich die als Annahme falsch.  Da <math>0,9\overline{9} > 1</math>ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math> ist. Es gibt also keinen Abstand <math> \epsilon </math> zwischen <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math>und 1, egal wie klein <math> \epsilon </math> gewählt wird.

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref name="Vogel"> Danckwerts, Rainer; Vogel, Danckwart: "Analysis verständlich unterrichten" Spektrum Akademischer Verlag, 1. Auflage, Berlin Heidelberg 2006</ref>

Es ist möglich <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math> als unendliche geometrische Reihe zu schreiben, also

<br /> <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9 \cdot 1+ 0,9 \cdot \frac{1}{10} + 0,9 \cdot \frac{1}{100} + ... =  \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10^n} </math>.

Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen <math> \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10^n} =  \textstyle \frac{a}{1-q} </math> mit <math> 0 < q < 1 </math> gilt.  

Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1:   

== Schülervorstellungen zu <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math> ==

In der Studie "Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9}</math>"<ref name="bauer" /> untersuchte [[Ludwig Bauer]] die Erwartungen von Schülerinnen und Schülern (SuS) gegenüber der natürlichen Zahl <math> \textstyle 0,9\overline{9}</math>. Dabei ergab sich insgesamt, dass 70 % der SuS die Meinung <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> vertreten, lediglich 30 % entschieden sich für <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math>. Hieraus schließt er, dass der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen nicht verhindern konnte, dass die SuS mit großer Mehrheit für <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> stimmten <ref name="bauer" />. Außerdem ist interessant, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> in der befragten Klassenstufe 12 mit 91 % die stärkste Zustimmung fand. Anscheinend führte sogar die bereits gelehrte [[Infinitesimalrechnung]], welche die intensive Beschäftigung mit Grenzwerten einschließt zu einer Verstärkung der Ablehnung.  

'''Schülerargumente für <math>0,9\overline{9} < 1</math>''' <ref name="bauer" />

"Es fehlt immer noch ein Stückchen"

<br />"<math> \textstyle 0,9\overline{9}</math> ist ganz minimal kleiner als 1"

<br />"Periode geht unendlich fort, wird die 1 aber nie berühren"

<br />"<math> \textstyle 0,9\overline{9} </math> ergibt nur gerundet 1"

<br />Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus:  

Viele SuS nehmen <math>0,9\overline{9}</math> und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, andere sehen <math> \textstyle 0,9\overline{9}</math> als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.

'''Schülerargumente gegen <math>0,9\overline{9} < 1</math>'''<ref name="bauer" />

"Das haben wir gelernt"

<br />"Weil es so ist"

<br />"<math>0,9\overline{9} = \frac{9}{9} = 1</math>"

<br />"Da die <math>0,9\overline{9}</math> ins Unendliche geht und sich der 1 annähert, kann man sagen, dass <math>0,9\overline{9} < 1</math> ist."

<br /> Insgesamt wirken die Argumentationen hier unsicherer. Sätze, ähnlich der ersten beiden treten häufiger auf. Dennoch argumentieren einige SuS auch mit den oben erklärten Zugängen und im weitesten Sinne wird auch eine Annäherung an die Grenzwerte gewagt.

Innerhalb der Studie lässt sich deutlich erkennen, dass die SuS verschiedene mathematische Aspekte verwenden um ihre Entscheidung zu begründen. Weiterhin scheint ihnen der mathematische Charakter der <math>0,9\overline{9} </math> weitestgehend vage und diffus zu sein. Es dominieren anschaulich- intuitive Vorstellungen und Argumente. Die SuS konstruieren aber ihre Begründungen selbst, es werden selten Begründungen der Lehrerinnen respektive Lehrer übernommen. Außerdem ist bei den Schülerinnen und Schülern die Vorstellung vorherrschend, dass die Zahl <math>0,9\overline{9} </math> den Prozess der Annäherung an die 1 beschreibt, während in der Mathematik das Ergebnis des Prozesses, nämlich <math>0,9\overline{9} = 1</math>, gemeint ist. Eine Weiterentwicklung der Schülervorstellungen auf diesem Gebiet würde auch einen Fortschritt der Schülerinnen und Schülern im [[Kompetenzbereich Zahl]] bedeuten.

== Konsequenzen für die Behandlung der Zahl <math>0,9\overline{9} </math> ==

Die Grundlage für die systematische Behandlung der <math>0,9\overline{9}</math> bilden die genetischen Spiralcurricula der Bundesländer.

Beginnend mit der Bruchrechnung in Klasse 6 kann mittels der Darstellung <math>0,9\overline{9} = 9 \cdot \frac {1}{9} = 1</math> der erste Beweis geführt werden. Dieses Ergebnis erscheint allerdings eher oberflächlich und wenig nachhaltig. Deshalb ist das erneute Aufgreifen der Zahl in höheren Klassenstufe unabdingbar. <ref name="bauer" />Eine erste Wiederholung des Zusammenhanges wäre nach der Einführung von Gleichungssytemen möglich, um die Herleitung durch Verwendung von Gleichungen zu realisieren. Zur abschließenden Wiederholung wäre dann noch einmal der Beweis mit Hilfe von Reihen innerhalb der Sekundarstufe II möglich.