Vorstellungen von 0,99999...: Unterschied zwischen den Versionen

Der Dezimalbruch <math>0,\overline{9}</math> mit der besonderen Eigenschaft <math>0,\overline{9} = 1</math> verursacht häufig Konflikte in den Schülervorstellungen. In den Lehrplänen bzw. Rahmenrichtlinien der Schulen wird dieses Thema meist nicht explizit erwähnt.

Der Zusammenhang kann auch anschaulich dargestellt werden. Man konstruiere einen [[Zahlenstrahl]], der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1, so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo <math>  \textstyle 0,\overline{9} = 0,99999...</math>  liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" <math> \textstyle 0,\overline{9} = 1</math>.

<br /> Dies ergibt sich ganz genauso für jedes <math> \epsilon = 10^{-k} </math> mit ''k'' aus den natürlichen Zahlen, man erhält stets einen Widerspruch zur Annahme. Da <math>0,\overline{9} > 1</math> ohnehin ausgeschlossen werden kann, muss <math> \textstyle 0,\overline{9} = 1</math> sein. Es gibt also keinen Abstand <math> \epsilon </math> zwischen <math> \textstyle 0,\overline{9} </math>und 1, egal wie klein <math> \epsilon </math> gewählt wird.