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Hischer

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-Die lineare Funktion gehört zu den ersten elementaren Funktionen, die die Schüler/innen kennenlernen. Sie kann auf unterschiedlichste Weise definiert werden:
+== Übersicht ==
+[[Datei:Lineare_Funktionen_Steigung.png|thumb|right|400px|Lineare Funktionen: Visualisierung von „Steigung“>]]
+Die meist so genannten „linearen Funktionen“ gehören zu den ersten sog. „elementaren Funktionen“, die im Mathematikunterricht auftreten. <br />
+Für den schulischen Kontext gilt folgende umfassende<br />
+''Definition:''
+: Es sei <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} </math> mit <math>m\in \mathbb{R}</math>, <math>b\in \mathbb{R}</math> und <math>f(x)=m·x+b</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math>.<br />
+: <math>f</math> ist dann eine '''lineare Funktion'''.
+Das ''[[Schaubild_einer_Funktion|Schaubild]]'' des Funktionsgraphen von <math>f</math> ist eine '''Gerade''' mit der '''Steigung''' <math>m</math>. Stellt man diese Gerade in einem kartesischen Koordinatensystem mit der <math>x</math>-Achse als Rechtsachse und der <math>y</math>-Achse als Hochachse dar, so ist <math>b</math> der sog. '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''', die Gerade verläuft also durch den Punkt mit den Koordinaten <math>(0;b)</math>.
-* Eine lineare Funktion ist eine Funktion f: |R --> |R, die durch folgende Funktionsgleichung definiert ist: f(x)=y=mx+n. Die Variablen m und n sind aus dem Bereich der reellen Zahlen, wobei m den Anstieg und n den Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der Ordinatenachse) beschreibt.
+== Ergänzungen und Anmerkungen ==
+* Im Mathematikunterricht tauchen lineare Funktionen anfangs noch nicht von <math>\mathbb{R}</math> in <math>\mathbb{R}</math> auf, sondern allenfalls von <math>\mathbb{Q}</math> in <math>\mathbb{Q}</math> oder sogar nur von Teilmengen davon.
+* Es sind „Steigung“ und „Anstieg“ zu unterscheiden: Der Anstieg ist die (absolute) „Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten auf einer Geraden, die Steigung ist hingegen die „relative Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten einer Geraden, also der Quotient aus der absoluten Höhendifferenz und der absoluten "Entfernungsdifferenz".
+* Die Steigung kann man – wie bei Verkehrsschildern üblich – auch in Prozent angeben.
+* Die (übliche) Bezeichnung „lineare Funktion“ ist für die hier betrachteten Funktionen eigentlich nicht korrekt: Geht man nämlich davon aus, dass „Abbildung“ und „Funktion“ Synonyme sind, so wird das Problem sofort klar, denn für eine „lineare Abbildung“ gilt <math>f(x)=m·x</math>, also ist dann <math>b=0</math>. Funktionen vom Typ <math>f(x)=m·x+b</math> müssten daher eigentlich ''„affine Funktionen“'' genannt werden, kompromissweise ist auch ''„affin-lineare Funktionen“'' denkbar.
+* Die im Mathematikunterricht anzutreffende Bezeichnung „proportionale Funktion“ ist vom Typ <math>f(x)=m·x</math>, also im Sinne der (Linearen) Algebra eine „lineare Abbildung“.
-* Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist, die die Ordinatenachse in nur einem Punkt schneidet.
+{{Zitierhinweis}}
-* Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Anstieg (Steigung, Zuwachsrate) konstant ist.
-Typischer Weise wird die lineare Funktion in der 8. Klasse nach den proportionalen Funktionen der Form f(x)=y=mx eingeführt.
-==Aufgabenbeispiele==
-==Probleme mit linearen Funktionen==