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| Die linearen Funktionen gehört zu den ersten elementaren Funktionen, die die Schüler/innen kennenlernen. | | == Übersicht == |
| | [[Datei:Lineare_Funktionen_Steigung.png|thumb|right|400px|Lineare Funktionen: Visualisierung von „Steigung“>]] |
| | Die meist so genannten „linearen Funktionen“ gehören zu den ersten sog. „elementaren Funktionen“, die im Mathematikunterricht auftreten. <br /> |
| | Für den schulischen Kontext gilt folgende umfassende<br /> |
| | ''Definition:'' |
| | : Es sei <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} </math> mit <math>m\in \mathbb{R}</math>, <math>b\in \mathbb{R}</math> und <math>f(x)=m·x+b</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math>.<br /> |
| | : <math>f</math> ist dann eine '''lineare Funktion'''. |
| | Das ''[[Schaubild_einer_Funktion|Schaubild]]'' des Funktionsgraphen von <math>f</math> ist eine '''Gerade''' mit der '''Steigung''' <math>m</math>. Stellt man diese Gerade in einem kartesischen Koordinatensystem mit der <math>x</math>-Achse als Rechtsachse und der <math>y</math>-Achse als Hochachse dar, so ist <math>b</math> der sog. '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''', die Gerade verläuft also durch den Punkt mit den Koordinaten <math>(0;b)</math>. |
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| * Eine lineare Funktion ist eine Funktion <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} </math> mit <math>f(x)=y=mx+n, </math> wobei <math>m</math> und <math>n</math> reelle Zahlen sind. Dabei beschreiben <math>m</math> den Anstieg und <math>n</math> den y-Achsenabschnitt des Graphen. | | == Ergänzungen und Anmerkungen == |
| | | * Im Mathematikunterricht tauchen lineare Funktionen anfangs noch nicht von <math>\mathbb{R}</math> in <math>\mathbb{R}</math> auf, sondern allenfalls von <math>\mathbb{Q}</math> in <math>\mathbb{Q}</math> oder sogar nur von Teilmengen davon. |
| * Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Anstieg (Steigung, Zuwachsrate) überall konstant ist. | | * Es sind „Steigung“ und „Anstieg“ zu unterscheiden: Der Anstieg ist die (absolute) „Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten auf einer Geraden, die Steigung ist hingegen die „relative Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten einer Geraden, also der Quotient aus der absoluten Höhendifferenz und der absoluten "Entfernungsdifferenz". |
| | | * Die Steigung kann man – wie bei Verkehrsschildern üblich – auch in Prozent angeben. |
| Typischerweise wird die lineare Funktion in der 8. Klasse nach den proportionalen Funktionen der Form <math>f(x)=y=mx</math> eingeführt.
| | * Die (übliche) Bezeichnung „lineare Funktion“ ist für die hier betrachteten Funktionen eigentlich nicht korrekt: Geht man nämlich davon aus, dass „Abbildung“ und „Funktion“ Synonyme sind, so wird das Problem sofort klar, denn für eine „lineare Abbildung“ gilt <math>f(x)=m·x</math>, also ist dann <math>b=0</math>. Funktionen vom Typ <math>f(x)=m·x+b</math> müssten daher eigentlich ''„affine Funktionen“'' genannt werden, kompromissweise ist auch ''„affin-lineare Funktionen“'' denkbar. |
| | | * Die im Mathematikunterricht anzutreffende Bezeichnung „proportionale Funktion“ ist vom Typ <math>f(x)=m·x</math>, also im Sinne der (Linearen) Algebra eine „lineare Abbildung“. |
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| ==Aufgabenbeispiele==
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| ===Einführungsbeispiele===
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| Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die linearen Funktionen einzuführen.
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| =====1. Proportionale Zuordnung <ref>Lehrbuch: Mathematik 8. Klasse, Pädagogischer Verlag Schwann-Bagel GmbH, Düsseldorf, 1986, Seite 113-114</ref>=====
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| Ausgangspunkt ist hier die proportionale Zuordnung, die bereits bekannt ist. Das Vorwissen der Schüler wird zur Einleitung verwendet, wodurch der neue Themenkomplex nicht komplett neu erscheint und bereits erlerntes Wissen mit angewendet und gleichzeitig wiederholt werden kann. Ein solches Beispiel könnte sein:
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| Eine Schraubenfeder wird durch Anhängen von Gewichtsstücken von je 0,5 N gedehnt.
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| Es wird nun die Verlängerung gemessen, die die Feder durch die betreffende Belastung erfährt.
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| {| class="wikitable" border="1"
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| |-
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| !Belastung(in N)|| 0,5 || 1,0 || 1,5 || 2,0 || 2,5 || 3,0
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| |-
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| !Verlängerung (in cm)|| 4,6 || 9,1 || 13,7 || 18,2 || 22,8 || 27,4
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| |}
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| Er ergibt sich folgendes Bild:
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| [[Datei:Diagramm.png]]
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| Oder man berechnet den Quotienten der einander zugeordneten Maßzahlen. Es ergibt sich hier:
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| <math> 4,6:0,5=9,2; 9,1:1,0=9,1; … </math>
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| Erfasst man die jeweilige Belastung durch die Variable <math>x</math> und die zugehörige Verlängerung durch die Variable <math>y</math>, so gilt wegen <math> y:x = 9,1 </math> dann <math> f(x)=9,1x </math>.
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| Betrachtet man jedoch die Gesamtlänge der Feder statt nur die Verlängerung, so ergibt sich Folgendes (dabei muss beachtet werden, dass die Feder ohne Belastung 7,4 cm lang ist):
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| {| class="wikitable" border="2"
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| |-
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| !Belastung(in N)|| 0 || 0,5 || 1,0 || 1,5 || 2,0 || 2,5 || 3,0
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| |-
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| !Länge (in cm)|| 7,4 || 12,0 || 16,5 || 21,1 || 25,6 || 30,2 || 34,8
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| |}
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| Der Graph der Funktion <math> g </math> ist soweit nach oben verschoben, wie es der Länge der unbelasteten Feder entspricht, also um 7,4.
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| Daraus ergibt sich als Funktionsterm: <math>g(x) = 9,1x + 7,4 </math>.
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| =====2. Song=====
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| Dies wäre eine willkommene Abwechslung für die Schüler. Der Song liefert alle wichtigen Zusammenhänge für lineare Funktionen. Die Lehrperson könnte ihn am Anfang einsetzen. Es könnte sein, dass es zu viel Neues ist für die Schüler. Aber die Lehrkraft könnte dann das Gehörte Stück für Stück erarbeiten und am Ende der Einheit darauf zurückkommen, denn dadurch merken es sich die Schüler eventuell besser.
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| Der Song ist zufinden unter: [http://www.youtube.com/watch?v=xGWbjRXl9cI]
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| =====3. Alltagsbeispiel <ref>vgl. Lambacher/Schweizer: Mathematik Algebra, 9. Klasse, Ernst Klett Verlag Stuttgart, 1988</ref>=====
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| Carmens Schultag:
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| Carmens Schultag beginnt um 7 Uhr. Sie fährt zunächst mit dem Bus zur Schule. Um 8 Uhr beginnt der Unterricht. Von 9.30 Uhr bis 9.50 Uhr und von 11.20 Uhr bis 11.40 Uhr ist Pause. Um 13.10 Uhr endet der Unterricht. Um 14 Uhr ist Carmen wieder zu Hause.
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| a) Zeichne den Graphen der Zuordnung ''bisherige Gesamtzeit der Abwesenheit von zu Hause'' -> ''bisherige reine Unterrichtszeit''. <br />
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| b) Zeichne einen entsprechenden Graphen für deinen eigenen Schultag.
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| Diese Aufgabe beruht auf dem Alltag der Schüler. Sie können es nachvollziehen und ihre eigenen Erfahrungen mit einbringen. Natürlich kann die Lehrkraft dieses Beispiel auf die eigene Schule und die eigene Klasse anpassen. Es wird erst einmal nichts Neues gelehrt, denn auch hier geht es um den bekannten Stoff der Zuordnung.
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| ===Allgemeine Beispiele für lineare Funktionen===
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| Am Anfang der Lehreinheit ist es wichtig, dass Schülerinnen und Schüler einen Bezug zu dem Stoff finden, und da ist der Lehrer gefragt. Dies kann z. B. mithilfe von Alltagsbeispielen gelingen.
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| Ein häufig gewähltes Beispiel ist die Kostenfunktion – egal, ob es sich um die Handyrechnung, einen Internettarif oder den Preis für Eiskugeln handelt. Man geht von einem Grundpreis aus, doch dieser erhöht sich in einem gewissen Zeitraum um einen Betrag x.
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| Es gibt viele Beispiele für die Anwendung von linearen Funktionen:
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| Aufgabenblatt "Schlange" [http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/lf/lf_aa03.PDF]
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| <br /> | |
| Aufgabenblatt "Temperaturwechsel" [http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/lf/lf_aa13.PDF]
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| <br />
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| Aufgabenblatt "Flugzeug" [http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/lf/lf_aa11.PDF]
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| <br />
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| Aufgabenblatt "Fallschirm" [http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/wk/lr/lr_lf_aa2.PDF]
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| <br />
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| Interessante Beispiele auch in Weitendorf <ref>Weitendorf Jens: Realitätsbezüge im Analysisunterricht, 1. Auflage 2007, Franzberger Verlag Berlin-Hildesheim</ref>
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| ==Probleme mit linearen Funktionen==
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| Ein Problem im Themengebiet der linearen Funktionen stellt die Abgrenzung von Begrifflichkeiten dar. So sind die linearen Funktionen im Bereich der reellen Zahlen zu unterscheiden von den linearen Funktionen in einem Vektorraum: Die linearen Funktionen müsste man demnach eigentlich affine Funktionen nennen, da die ''Linearität'' hier nicht zutrifft.
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| Eine weitere Schwierigkeit stellt der Begriff des Anstiegs dar. Hierbei handelt es sich um ein sprachliches Problem, da das Wort "Anstieg" bereits auf eine ''aufwärts'' gerichtete Gerade verweist. Hier muss man also als Lehrer/in bedenken, dass die Schüler/innen zunächst annehmen, dass ein Anstieg immer positiv ist. Bei der Einführung des Begriffes sollte also gezielt darauf aufmerksam gemacht werden.
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| ==Quellen==
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| <references />
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| [[Kategorie:Analysis]]
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