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Iterative Prozesse und Folgen: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 1. Dezember 2016, 12:17 Uhr
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Iterative Prozesse lassen sich mittels Folgen darstellen. Dabei wird - ausgehend von einem Startwert - eine funktionale Bildungsvorschrift eingesetzt, um weitere Elemente ("Folgenglieder") zu berechnen. Jedes Folgenglied ist dabei abhängig von seinen Vorgängern. Ein Zustand des Prozesses wird modelliert, indem eine passende Anzahl Elemente der Folge berechnet werden. | Iterative Prozesse lassen sich mittels [[Folgen]] darstellen. Dabei wird - ausgehend von einem Startwert - eine funktionale Bildungsvorschrift eingesetzt, um weitere Elemente ("Folgenglieder") zu berechnen. Jedes Folgenglied ist dabei abhängig von seinen Vorgängern. Ein Zustand des Prozesses wird modelliert, indem eine passende Anzahl Elemente der Folge berechnet werden. | ||
Diese rekursive Definition von Zahlenfolgen wird auch als rekursive oder iterative Sichtweise von Folgen bezeichnet. Durch den grundlegenden Aufbau herrscht eine große Ähnlichkeit zur Beweismethode der vollständigen Induktion. In beiden Fällen wird ausgehend von einem Startwert eine rekursive Bildungsvorschrift definiert, die weitere (Folgen-)Glieder bestimmt. | Diese rekursive Definition von Zahlenfolgen wird auch als rekursive oder iterative Sichtweise von Folgen bezeichnet. Durch den grundlegenden Aufbau herrscht eine große Ähnlichkeit zur Beweismethode der vollständigen Induktion. In beiden Fällen wird ausgehend von einem Startwert eine rekursive Bildungsvorschrift definiert, die weitere (Folgen-)Glieder bestimmt. | ||
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==Beispiele für Verfahren== | ==Beispiele für Verfahren== | ||
''Heron-Verfahren'' | '''Heron-Verfahren''' | ||
Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel: | Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel: | ||
Sei a eine Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll. | Sei a eine Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll. | ||
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Ergebnis ist die Zahl, zu der die Folge konvergiert: die Wurzel von a. | Ergebnis ist die Zahl, zu der die Folge konvergiert: die Wurzel von a. | ||
''Beispiel:'' | |||
Sei a = 25. Als Startwert wird <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{25 + 1}{2} = 13 \end{eqnarray} </math> festgelegt. | Sei a = 25. Als Startwert wird <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{25 + 1}{2} = 13 \end{eqnarray} </math> festgelegt. | ||
Nun werden die Glieder der Folge berechnet: | Nun werden die Glieder der Folge berechnet: | ||
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\end{eqnarray} </math> | \end{eqnarray} </math> | ||
''Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung von Kettenbrüchen'' | |||
'''Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung von Kettenbrüchen''' | |||
Eine weitere Anwendung des Euklidischen Algorithmus ist die Zerlegung von zwei Zahlen in einen Kettenbruch. Hat man zwei Zahlen a und b, so erhält man deren Kettenbruch mittels der iterativen Bildungsvorschrift <math>x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} </math>. | Eine weitere Anwendung des Euklidischen Algorithmus ist die Zerlegung von zwei Zahlen in einen Kettenbruch. Hat man zwei Zahlen a und b, so erhält man deren Kettenbruch mittels der iterativen Bildungsvorschrift <math>x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} </math>. | ||
''Beispiel'' | |||
Sei a = 27, b = 25. Wir wollen also die Kettenbruchzerlegung von <math> \begin{eqnarray} \frac{27}{25} \end{eqnarray} </math> erhalten. | Sei a = 27, b = 25. Wir wollen also die Kettenbruchzerlegung von <math> \begin{eqnarray} \frac{27}{25} \end{eqnarray} </math> erhalten. | ||
<math> \begin{eqnarray} \frac{25}{27} = 1 + \frac{2}{27} = 1 + \frac{1}{\frac{27}{2}} = 1 + \frac{1}{13 + \frac{1}{2}} \end{eqnarray} </math> | <math> \begin{eqnarray} \frac{25}{27} = 1 + \frac{2}{27} = 1 + \frac{1}{\frac{27}{2}} = 1 + \frac{1}{13 + \frac{1}{2}} \end{eqnarray} </math> | ||
==Taschenrechnereinsatz== | ==Taschenrechnereinsatz== | ||
Folgen lassen sich mittels des Taschenrechners recht einfach darstellen. Schon | Folgen lassen sich mittels des Taschenrechners recht einfach darstellen. Schon mit der <math> x^2 </math> oder der <math> \frac{1}{x} </math>-Taste der meisten Taschenrechner lassen sich einige Funktionen als Folgen darstellen.<ref name="weigbuch"> [[Hans-Georg Weigand]]: Zur Didaktik des Folgenbegriffs. BI-Wiss.-Verlag. Mannheim; Leipzig; Wien; Zürich, 1993. </ref> In den meisten modernen grafikfähigen Taschenrechnern ist zudem eine Listen-Option eingebaut. Diese ermöglicht es eine hohe Anzahl an Folgengliedern schnell zu berechnen und übersichtlich darzustellen. | ||
==Softwareeinsatz== | ==Softwareeinsatz== | ||
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[[Kategorie:Analysis]] | [[Kategorie:Analysis]] | ||
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