Funktion: mengentheoretische Auffassung: Unterschied zwischen den Versionen

<div id="Übersicht"></div>Die Untersuchung der [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|kulturhistorischen Entstehung und Entwicklung des Funktionsbegriffs]] zeigt, wie sich aus ersten Ansätzen bei babylonischen Tabellen, bei der Erfindung von Notentexten, bei der Untersuchung und Darstellung zeitabhängiger [[Größe|Größen]], bei freihändig gezeichneten „Kurven“, bei „analytischen Ausdrücken“ (als [[Term|Termen]]) und bei graphischen und tabellarischen Darstellungen empirisch gewonnener Daten im 19. Jh. ein „termfreier“ Funktionsbegriff als „eindeutige [[Zuordnung]]“ entwickelt hat, der schließlich Anfang des 20. Jhs. auf der Grundlage der zuvor durch [http://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor Georg Cantor] begründeten Mengenlehre unter Bezug auf „geordnete Paare“ seine formal strenge und saubere Fassung als spezielle '''[[Relation]]''' erhalten hat. <ref>Vgl. hierzu die ausführlichen Betrachtungen in [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].</ref>

| Es sei <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. Falls von <math>x</math> ein (und damit genau ein) Zuordnungspfeil nach <math>y</math> verläuft, dann wird notiert: <math>x\mapsto y</math>  || gelesen: „dem <math>x</math> wird das <math>y</math> zugeordnet“<br />

aber ''nicht'': „<math>x</math> wird zugeordnet <math>y</math>“ (weil dann nicht klar ist, wer wem zugeordnet wird).

| Es sei <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. Falls <math>x\mapsto y</math> bezüglich der Funktion <math>f</math> gilt, dann ist: <math>f(x):=y</math> || <math>f(x)</math> heißt dann '''Funktionswert''' von „<math>x</math> bezüglich <math>f</math>, gelesen: „f von x“.<br />

| <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> || '''Definitionsmenge''' von <math>f</math>, auch „Definitionsbereich“; es ist <math>{{\operatorname{D}}_{f}}\subseteq A</math>.<br>

| Falls <math>{{\operatorname{D}}_{f}}=A</math>, dann wird notiert: <math>f\,:A\to B</math> || gelesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> '''in''' <math>B</math>“.<br />

• Ein „'''Funktional'''“ ist ein Operator von einem „Funktionenraum“ in <math>\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{C}</math> (z. B. „bestimmtes Integral“). <ref>Das macht die frühere Bezeichnung „Funktionenfunktion“ für „Funktional“ plausibel.</ref>

* Der Aspekt der eindeutigen Zuordnung liegt in zweispaltigen Tabellen automatisch vor, wenn sich in der „Eingangsspalte“ (links) kein Element wiederholt. Damit kann eine „Funktion“ alternativ von Anbeginn an auch mit einer solchen Tabelle identifiziert werden, dieses in Übereinstimmung mit der Auffassung der Numeriker und ganz in der kulturhistorischen Tradition der Mathematik von den Babyloniern bis Du Bois-Reymond (s.&nbsp;o.).

* Die symbolische Darstellung „<math>f\,:A\to B</math>“ ist eine Mitteilung über eine Funktion <math>f</math> (genauer: eine [[Aussageform]]) und bedeutet definitionsgemäß und ist auch so zu lesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> in <math>B</math>“. Damit ist es sprachlich nicht korrekt, <math>f\,:A\to B</math> eine „Funktion“ zu nennen, sondern korrekt wäre z. B. entweder „die Funktion <math>f</math> von <math>A</math> in <math>B</math>“ oder „die Funktion <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>f\,:A\to B</math>“.

Diese Betrachtungen führen zunächst zu einer „Weite“ des mit „Funktion“ bezeichneten Begriffs und leiten über zu den „[[Funktion: viele Gesichter|vielen Gesichtern von Funktionen]]“. <ref>Vgl. [Herget et. al. 2000].</ref> <br />

* ''die graphische (visualisierende) Darstellung von'' <math>f</math> durch ein [[Schaubild_einer_Funktion|''Schaubild'']] von <math>f</math> (meist ungenau „Funktionsgraph“ genannt).

Dieser hier scheinbar immanent vorliegende Widerspruch gründet sich auf die kontextabhängigen „[[Funktion: viele Gesichter|vielen Gesichter von Funktionen]]“, und er kann und sollte bei strengem Vorgehen durchaus vermieden werden. Bei der jedoch faktisch vorliegenden Vielfalt dessen, was Anwender jeweils unter „Funktion“ verstehen, ist es sinnvoll, flexibel mit diesen „Gesichtern“ umgehen zu können. Das betrifft beispielsweise auch die oft so genannten „Funktionen mehrerer Veränderlicher“, die im folgenden Abschnitt definiert werden.

* Mehrstellige Funktionen pflegt man heute wieder wie früher oft „'''Funktionen mehrerer Veränderlicher'''“ zu nennen (für <math>n=1</math> entsprechend „'''Funktion einer Veränderlichen'''“. Das ist streng genommen nicht korrekt, weil ja nicht die Funktion „Veränderliche“ hat; vielmehr sind die Funktionswerte im Falle [[Funktion: kulturhistorische Aspekte#nicht termdefinierbar|termdefinierter]] Funktionen [[Term|'''Funktionsterme''']], die aus den Variablen <math>{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}</math> aufgebaut sind: Es liegen dann also ''Funktionsterme in mehreren Veränderlichen'' (bzw. ''in mehreren Variablen'') vor.