Funktion: mengentheoretische Auffassung: Unterschied zwischen den Versionen

<div id="Übersicht"></div>Die Untersuchung der [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|kulturhistorischen Entstehung und Entwicklung des Funktionsbegriffs]] zeigt, wie sich aus ersten Ansätzen bei babylonischen Tabellen, bei der Erfindung von Notentexten, bei der Untersuchung und Darstellung zeitabhängigen [[Größe|Größen]], bei freihändig gezeichneten „Kurven“, bei „analytischen Ausdrücken“ (als [[Term|Termen]]) und bei graphischen und tabellarischen Darstellungen empirisch gewonnener Daten im 19. Jh. ein „termfreier“ Funktionsbegriff als „eindeutige [[Zuordnung]]“ entwickelt hat, der schließlich Anfang des 20. Jhs. auf der Grundlage der zuvor durch [http://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor Georg Cantor] begründeten Mengenlehre unter Bezug auf „geordnete Paare“ seine formal strenge und saubere Fassung als spezielle [[Relation]] erhalten hat. <ref>Vgl. hierzu die ausführlichen Betrachtungen in [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].</ref>

• „'''Abbildung'''“ ist meist ein Synonym für „Funktion“<br />

''links:'' die Relation ist nicht rechtseindeutig;<br />

<big>„'''Funktion'''“ als rechtseindeutige Relation.</big> <br />

| (1) <math>R</math> ist genau dann '''rechtseindeutig''', wenn für alle <math>x,{{y}_{1}},{{y}_{2}}</math> gilt:

Oder: Die [[Zuordnung]] verläuft von links nach '''rechts''' eindeutig.

Oder: Die ''inverse'' [[Zuordnung]] verläuft von rechts nach '''links''' eindeutig.

| Es sei <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. Falls von <math>x</math> ein (und damit genau ein) Zuordnungspfeil nach <math>y</math> verläuft, dann wird notiert:: <math>x\mapsto y</math>  || gelesen: „dem <math>x</math> wird das <math>y</math> zugeordnet“<br />

aber nicht : „<math>x</math> wird zugeordnet <math>y</math>“ (weil dann nicht klar ist, wer wem zugeordnet wird).

| Es sei <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. Falls <math>x\mapsto y</math> bezüglich der Funktion <math>f</math> gilt, dann ist:: <math>f(x):=y</math> || <math>f(x)</math> heißt dann '''Funktionswert''' von „<math>x</math> bezüglich <math>f</math>, gelesen: „f von x“.<br />

| <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> || '''Definitionsmenge''' von <math>f</math>, auch „Definitionsbereich“, es ist <math>{{\operatorname{D}}_{f}}\subseteq A</math>.<br>

| Falls <math>{{\operatorname{D}}_{f}}=A</math>, dann wird notiert:: <math>f\,:A\to B</math> || gelesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> '''in''' <math>B</math>“.<br />

<math>\{1\}\to \{2,3\}</math> bedeutet: Dem Element <math>1</math> wird das Element <math>2</math> oder <math>3</math> zugeordndet.<br />

| Eine beliebige '''Bijektion''' einer Menge <math>A</math> '''auf sich selber''' ist eine '''Transformation''' von <math>A</math>. || ''Automorphismen'' (z. B. in Algebra und Geometrie) sind stets strukturerhaltende Transformattonen.

• Ein „'''Funktional'''“ ist ein Operator von einem „Funktionenraum“ in <math>\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{C}</math> (z. B. „bestimmtes Integral“). <ref>Das macht die frühere Bezeichnung „Funktionenfunktion“ für „Funktional“ plausibel..</ref>

* Ein wesentlicher Aspekt beim Funktionsbegriff ist die eindeutige [[Zuordnung]], die mit „rechtseindeutig“ erfasst werden kann, ohne schon <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> mit voraussetzen zu müssen.

* Der Aspekt der eindeutigen Zuordnung liegt in zweispaltigen Tabellen automatisch vor, wenn sich in der „Eingangspalte“ (links) kein Element wiederholt. Damit kann eine „Funktion“ alternativ von Anbeginn an auch mit einer solchen Tabelle identifiziert werden, dieses in Übereinstimmung mit der Auffassung der Numeriker und ganz in der kulturhistorischen Tradition der Mathematik von den Babyloniern bis Du Bois-Reymond (s. o).

* Die symbolische Darstellung „<math>f\,:A\to B</math>“ ist eine Aussage (bzw. Eigenschaft) und bedeutet definitionsgemäß und ist so zu lesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> in <math>B</math>“. Damit ist es sprachlich nicht korrekt, <math>f\,:A\to B</math> eine „Funktion“ zu nennen, sondern korrekt wäre z. B. entweder „die Funktion <math>f</math> von <math>A</math> in <math>B</math>“ oder „die Funktion <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>f\,:A\to B</math>“.

* Es ist zu beachten, dass bei Funktionen der mit dem Symbol <math>f(x)</math> bezeichnete „Funktions'''wert'''“ (ganz im Sinne der kulturhistorischen Tradition) nicht notwendig ein [[Term]] sein muss, so dass man hier besser nicht immer von einem „Funktionsterm“ sprechen sollte. Ganz anders ist die Situation bin [[Funktionenplotter|Funktionenplottern]], die ''nur die Darstellung termdefinierter Funktionen'' ermöglichen können.

* Offensichtlich kann man nicht termdefinierbare Funktionen mit endlichem Definitionsbereich durch eine Tabelle darstellen. Aber das ist auch bei nicht endlichem Definitionsbereich möglich, wie etwa folgendes Beispiel zeigt: Es sei <math>f(n)</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math> die <math>n</math>-te Dezimalstelle von <math>\pi</math>, also <math>f(0)=3</math>, <math>f(1)=1</math>, <math>f(2)=4</math> ..., dann lässt sich dies mit einer (gedachten!) unendlichen Tabelle erfassen.  

* Konsequenz: Es gibt in formaler Hinsicht keinen Unterschied zwischen „Funktion“ und „Funktionsgraph“, wenn man beide so wie oben mengentheoretisch definiert. Das hat zur weiteren Konsequenz, dass der „Funktionsgraph“ bereits eine Funktion '''ist''' und man in der Tat beispielsweise eine ''„Parabel als quadratische Funktion“'' auffassen kann. <ref>Vgl. die in der [[Funktion: mengentheoretische Auffassung#Übersicht|Übersicht]] erwähnte [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|kulturhistorische Entstehung und Entwicklung des Funktionsbegriffs]].</ref> Auch der von einem [[Funktionenplotter]] erzeugte [[Funktionenplotter#Funktionsplot|Funktionsplot]] kann damit als eine „Funktion“ aufgefasst werden. <ref>Genauer: Sowohl die erwähnte „Parabel“ als auch die Funktionsplots sind eigentlich „Darstellungen“ einer Funktion, was die Frage aufwirft, worin der Unterschied zwischen einer Darstellung und dem dadurch Dargestellten besteht.</ref><br /><br />

 

Diese Betrachtungen führen zunächst zu einer „Weite“ des mit „Funktion“ bezeichneten Begriffs auf und leiten ueber zu den vielen „[[Funktion: viele Gesichter|Gesichtern von Funktionen]]“. <ref>Vgl. [Herget et. al. 2020].</ref> Zugleich ist anzumerken, dass die mengentheoretische Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger Relation“ beweistechnisch gute Möglichkeiten eröffnet und dass in diesem Zusammenhang in „sauberer“ Sprechweise möglichst unterschieden werden sollte zwischen „die Funktion <math>f</math>“, „der Funktionswert <math>f(x)</math>“ und „graphische Darstellung von <math>f</math>“.

: Es sei <math>n\in {{\mathbb{N}}^{*}}</math> (also <math>n>0</math>), <math>{{A}_{1}},\ \ldots ,\ {{A}_{n}},B</math> seien nicht leere Mengen, und es sei <math>f\,:{{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n}}\to B</math>.<br />

* Für die Funktionswerte gilt also <math>f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})\in B</math>.

* Mehrstellige Funktionen pflegt man heute wieder wie früher oft „Funktionen mehrerer Veränderlicher“ zu nennen, was streng genommen nicht korrekt ist, weil ja nicht die Funktion „Veränderliche“ hat, sondern die Funktionswerte sind im Falle [[Funktion: kulturhistorische Aspekte#nicht termdefinierbar|termdefinierter]] Funktionen [[Term|Funktionsterme]].

* Mit <math>f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})=:y</math> ist <math>({{x}_{n}},\ldots ,{{x}_{n}},y)=(({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}),y)\in ({{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n}})\times B={{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n}}\times B</math>, und damit ist jede <math>n</math>-stellige Funktion zugleich eine '''<math>(n+1)</math>-stellige [[Relation]]'''.

* Herget, Wilfried & Malitte, Eva & Richter, Karin [2000]: ''Funktionen haben viele Gesichter – auch im Unterricht!'' In: Flade, Lothar & Herget, Wilfried (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS – Anregungen für die Sekundarschulen. Berlin: Verlag Volk und Wissen, 2000, 115–124.

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