Baustelle:Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

Felix '''Hausdorff''' definiert 1914 erstmalig „geordnetes Paar“ auf mengentheoretischer Grundlage (wenn auch noch nicht so elegant wie 1921 [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) und darauf aufbauend „Funktion“ als das, was wir heute ''„binäre, rechtseindeutige Relation“'' nennen: Damit wurde erstmalig der moderne Funktionsbegriff formal sauber definiert, basierend auf den Vorarbeiten vor allem der Mathematiker des 19. Jahrhunderts, wobei die vorherige Betrachtung und Einbeziehung empirischer Funktionen die Abkehr von der Forderung nach einem „Bildungsgesetz“ erzwungen hatte.

| <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math> || '''Definitionsmenge''' von <math>f</math>, auch „Definitionsbereich“, es ist <math>{{\operatorname{D}}_{f}}\subseteq A</math>.

| <math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math>  || <math>{{\operatorname{G}}_{f}}</math> heißt '''Graph''' von <math>f</math> (oder einfach '''Funktionsgraph'''). Es gilt <math>{{\operatorname{G}}_{f}}</math>

* Wenn die Ausgangsmenge mit dem Definitionsbereich übereinstimmt, also <math>{{\operatorname{D}}_{f}}:=\{x\in A|</math> es gibt ein <math>y\in B</math> mit <math>y=f(x)\}</math>, wird ''jedem Elemente der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge'' zugeordnet, so dass also <math>f\,:A\to B</math> gilt. Es bietet sich an, mit dieser engeren Sichtweise zu beginnen (und ggf. dabei zu bleiben).

* Die symbolische Darstellung „<math>f\,:A\to B</math>“ ist eine Aussage (bzw. Eigenschaft) und bedeutet definitionsgemäß und ist so zu lesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> in <math>B</math>“. Damit ist es sprachlich nicht korrekt, „die Funktion <math>f\,:A\to B</math>“ zu schreiben, sondern korrekt wäre z. B. entweder „die Funktion von <math>A</math> in <math>B</math>“ oder „die Funktion <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>f\,:A\to B</math>“.

* Es ist zu beachten, dass bei Funktionen das Symbol <math>f(x)</math> (ganz im Sinne der kulturhistorischen Tradition) nicht notwendig ein [[Term]] sein muss, so dann man hier also auch nicht von einem „Funktionsterm“ sprechen sollte. Ganz anders ist die Situation bin [[Funktionenplotter|Funktionenplottern]], die ''nur die Darstellung termdefinierter Funktionen'' ermöglichen können.

* Offensichtlich kann man nicht termdefinierbare Funktionen mit endlichem Definitionsbereich durch eine Tabelle darstellen. Aber das ist auch bei nicht endlichem Definitionsbereich möglich, wie etwa folgendes Beispiel zeigt: Es sei <math>f(n)</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math> die <math>n</math>-te Dezimalstelle von <math>pi</math>, also <math>f(0)=3</math>, <math>f(1)=1</math>, <math>f(2)=4</math> ..., dann lässt sich dies mit einer unendlichen Tabelle erfassen.  

* Wenn nun <math>y=f(x)</math> gilt und <math>f(x)</math> für alle betrachteten <math>x</math> ein [[Term]] ist, so nennt man „<math>y=f(x)</math>“ eine '''Funktionsgleichung''' (und also nur dann!).

* Die übliche o. g. Definition des Funktionsgraphen gemäß <math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> resultiert aus dem Wunsch der Darstellung der Wertepaare <math>(x,f(x))</math> durch Punkte in einem Koordinatensystem, wobei diese Wertepaare <math>(x,f(x))</math> nicht notwendig numerischer Art sein müssen. Wenn nun aber eine Funktion formal streng als spezielle Relation definiert wird und eine Relation ja gerade eine Menge geordneter Paare ist, so erhalten wir: <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math>.

Das führt zu einer durchaus erfreulichen Weite des mit „Funktion“ bezeichneten Begriffs leitet ueber zu den vielen „Gesichtern von Funktionen“. Zugleich ist anzumerken, dass die mengentheoretische Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger Relation“ beweistechnisch erhebliche Möglichkeiten eröffnet.

Ein beliebiger gemäß Definition eines arithmetischen [[Term|Terms]] gebildeter Funktionsterm <math>f(x)</math> ordnet jeder reellen oder komplexen Zahl <math>x</math> genau einen Wert zu, nämlich <math>f(x)</math>. Die Menge aller solcher geordneten Paare <math>(x,f(x)</math> ist damit rechtseindeutig, und daher ist bereits durch den Funktionsterm <math>f(x)</math> eine Funktion gegeben, was dazu führt, diesen mit der Funktion <math>f</math> zwar nicht formal, aber inhaltlich im Wesentlichen identifizieren zu können. Obwohl also „eigentlich“ erst <math>f</math> die Funktion ist, steht bereits der Funktionsterm <math>f(x)</math> gleichermaßen für diese Funktion.  

Ist <math>f\,:A\to B</math>, so ist der zugehörige Funktionsgraph durch <math>{{\operatorname{G}}_{f}}=\{(x,f(x))|x\in A\}\subseteq A\times B</math> gegeben, und es wurde bereits festgestellt, dass <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math> gilt, also kurz <math>f={{\operatorname{G}}_{f}}</math>. Interpretiert man das in einem (nicht notwendig numerischen) kartesischen Koordinatensystem als Darstellung von mit <math>(x,f(x)</math> bezeichneten „Punkten“, so wird auf diese Weise jedem <math>x\in A</math> genau ein<math>f(x)\in B</math> zugeordnet, womit also der Funktionsgraph auch in dieser Sichtweise bereits eine Funktion '''ist'''.