Baustelle:Funktion: viele Gesichter

Funktionen haben viele Gesichter

Übersicht

Die grundlegende mengentheoretische Definition von „Funktion als rechtseindeutiger Relation“ enthält bereits das Wesentliche und wird durch die Erweiterung über die Einbeziehung der Definitionsmenge und der Zielmenge gemäß $f\,:A\to B$ und schließlich auch der Wertemenge umfassend verwendbar, so dass uns unter dieser Sichtweise und unter Berücksichtigung der kulturhistorischen Aspekte der Entstehung des Funktionsbegriffs Funktionen mit unterschiedlichen „Gesichtern“ begegnen können. Das sei nachfolgend durch einige Beispiele verdeutlicht.

Beispiele

Funktionsterm als Funktion

Ein beliebiger gemäß Definition eines arithmetischen Terms gebildeter Funktionsterm $f(x)$ ordnet jeder reellen oder komplexen Zahl $x$ genau einen Wert zu, nämlich $f(x)$. Die Menge aller solcher geordneten Paare $(x,f(x))$ ist damit rechtseindeutig, und daher ist bereits durch den Funktionsterm $f(x)$ eine Funktion gegeben, was dazu führt, diesen Funktionsterm $f(x)$ mit der Funktion $f$ zwar nicht formal, aber inhaltlich im Wesentlichen identifizieren zu können. Obwohl also „eigentlich“ erst $f$ die Funktion ist, steht bereits der Funktionsterm $f(x)$ gleichermaßen für diese Funktion.

Funktionsgraph als Funktion

Ist $f\,:A\to B$, so ist der zugehörige Funktionsgraph durch ${{\operatorname {G} }_{f}}=\{(x,f(x))|x\in A\}\subseteq A\times B$ gegeben, und es wurde bereits festgestellt, dass $f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname {G} }_{f}}$ gilt, also kurz $f={{\operatorname {G} }_{f}}$. Interpretiert man das in einem (nicht notwendig numerischen) kartesischen Koordinatensystem als Darstellung von mit $(x,f(x))$ bezeichneten „Punkten“, so wird auf diese Weise jedem $x\in A$ genau ein$f(x)\in B$ zugeordnet, womit also der Funktionsgraph auch in dieser Sichtweise bereits eine Funktion ist.

Funktionsplot als Funktion

Siehe hierzu die Erläuterungen unter Funktionenplotter.

Digitalisierung und Diskretisierung als Funktionen

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Hörbare Funktionen

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Sichtbare Funktionen

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Literatur

• Deiser, Oliver [2010]: Einführung in die Mengenlehre. Berlin / Heidelberg: Springer (3., korrigierte Auflage; 1. Auflage 2000; 2., korrigierte und erheblich erweiterte Auflage 2004).
• Felgner, Ulrich [2002]: Der Begriff der Funktion. In: Felix Hausdorff – Gesammelte Werke Band II, Grundzüge der Mengenlehre. New York / Berlin / Heidelberg: Springer, S. 621–633.
• Herget, Wilfried & Malitte, Eva & Richter, Karin [2000]: Funktionen haben viele Gesichter – auch im Unterricht! In: Flade, Lothar & Herget, Wilfried (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS – Anregungen für die Sekundarschulen. Berlin: Verlag Volk und Wissen, 2000, 115–124.
• Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

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