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Iterative Prozesse und Folgen: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 22. Januar 2013, 16:02 Uhr
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==Beispiele für Verfahren== | ==Beispiele für Verfahren== | ||
''Heron-Verfahren'' | '''Heron-Verfahren''' | ||
Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel: | Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel: | ||
Sei a eine Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll. | Sei a eine Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll. | ||
| Zeile 13: | Zeile 13: | ||
Ergebnis ist die Zahl, zu der die Folge konvergiert: die Wurzel von a. | Ergebnis ist die Zahl, zu der die Folge konvergiert: die Wurzel von a. | ||
''Beispiel:'' | |||
Sei a = 25. Als Startwert wird <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{25 + 1}{2} = 13 \end{eqnarray} </math> festgelegt. | Sei a = 25. Als Startwert wird <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{25 + 1}{2} = 13 \end{eqnarray} </math> festgelegt. | ||
Nun werden die Glieder der Folge berechnet: | Nun werden die Glieder der Folge berechnet: | ||
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\end{eqnarray} </math> | \end{eqnarray} </math> | ||
''Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung von Kettenbrüchen'' | |||
'''Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung von Kettenbrüchen''' | |||
Eine weitere Anwendung des Euklidischen Algorithmus ist die Zerlegung von zwei Zahlen in einen Kettenbruch. Hat man zwei Zahlen a und b, so erhält man deren Kettenbruch mittels der iterativen Bildungsvorschrift <math>x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} </math>. | Eine weitere Anwendung des Euklidischen Algorithmus ist die Zerlegung von zwei Zahlen in einen Kettenbruch. Hat man zwei Zahlen a und b, so erhält man deren Kettenbruch mittels der iterativen Bildungsvorschrift <math>x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} </math>. | ||
''Beispiel'' | |||
Sei a = 27, b = 25. Wir wollen also die Kettenbruchzerlegung von <math> \begin{eqnarray} \frac{27}{25} \end{eqnarray} </math> erhalten. | Sei a = 27, b = 25. Wir wollen also die Kettenbruchzerlegung von <math> \begin{eqnarray} \frac{27}{25} \end{eqnarray} </math> erhalten. | ||
<math> \begin{eqnarray} \frac{25}{27} = 1 + \frac{2}{27} = 1 + \frac{1}{\frac{27}{2}} = 1 + \frac{1}{13 + \frac{1}{2}} \end{eqnarray} </math> | <math> \begin{eqnarray} \frac{25}{27} = 1 + \frac{2}{27} = 1 + \frac{1}{\frac{27}{2}} = 1 + \frac{1}{13 + \frac{1}{2}} \end{eqnarray} </math> | ||